Bizonyára erre jutottál:
`{:(, (1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6\ 7\ 8\ 9)),
(o, (2\ 3\ 1\ 5\ 6\ 7\ 4\ 9\ 8)),
(o^2,(3\ 1\ 2\ 6\ 7\ 4\ 5\ 8\ 9)),
(o^3,(1\ 2\ 3\ 7\ 4\ 5\ 6\ 9\ 8))
:}`

Vagyis az `o^3` kétsoros formában felírva ez a permutáció:
`((1,2,3,4,5,6,7,8,9),
(1,2,3,7,4,5,6,9,8))`
Ezt írjuk át ciklikus notációba:
`(1)(2)(3)(4\ 7\ 6\ 5)(8\ 9)`
Az egy hosszú ciklusokat el lehet hagyni:
`(4\ 7\ 6\ 5)(8\ 9)`
Az pedig, hogy `(8\ 9)` vagy `(9\ 8)`, az ugyanaz.

Ezt tudtad követni?

A másik kérdés:
Lehetne alap-permutációs műveletekkel és két-soros notációval is csinálni, ahogy az elsőnél volt, de most dolgozzunk végig ciklikus notációban, érdemes megtanulni.

Nézzük mondjuk azt, hogy `(x\ y)`, és vegyük ennek a hatványait.

Az első hatvány természetesen önmaga.

A második hatvány: `x`-ből `y` aztán abból `x` lesz, tehát `x`-ből `x` a második hatványnál. Hasonlóan `y`-ból `x`, aztán abból `y`, tehát `y`-ból `y` lesz a második hatványon. Összesítve: `(x\ y)`-ból `(x)(y)` lesz (amit nem is írunk le).
Amit meg lehet ebből jegyezni: kettő hosszú ciklikus permutáció második hatványa az identikus permutáció.

A harmadik hatvány: mivel a második hatvány az identikus volt, ezt permutálva még egyszer ugyanazt kapjuk, mintha csupán egyetlen egyszer permutáltuk volna.

A negyedik hatvány: mivel a második hatvány az identikus volt, azt még kétszer szorozva a permutációval megint identikusat kapunk. Sőt, minden páros hatvány is az identikus lesz.

Stb.

Ha 3 hosszú ciklust nézünk, az így alakul (már nem részletezem, csak a végét írom):
`(x\ y\ z)^1=(x\ y\ z)` természetesen
`(x\ y\ z)^2=(x\ z\ y)`
`(x\ y\ z)^3` az identikus permutáció
`(x\ y\ z)^4=(x\ y\ z)^1=(x\ y\ z)`
`(x\ y\ z)^5=(x\ y\ z)^2=(x\ z\ y)`
stb.

Négy hosszú permutációt már összesítve se írom le, csak annyit, hogy négy hosszúnak a negyedik hatványa az identikus permutáció. (n hosszúínak az n-edik hatványa az identikus...)

Szóval `o=(1\ 2)(3\ 4\ 5)(6\ 7\ 8\ 9)` és `o^4` a kérdés:
`(1\ 2)^4` az identikus, azt nem kell leírni
`(6\ 7\ 8\ 9)^4` is az identikus...
`(3\ 4\ 5)^4=(3\ 4\ 5)^1=(3\ 4\ 5)`
Kész.

Ha valami nem volt tiszta, kérdezz rá.