Síkgörbe ívhossza

A görbe: `\mathbf{r} = [[5-2t],[3t^2+1]]`

A deriváltja: `\dot\mathbf{r} = [[-2],[6t]]`

A derivált hossza: `|\dot\mathbf{r}| = 2sqrt(9t^2+1)`

Ezt kell integrálni az ívhosszhoz:

`S=int_0^2 2sqrt(9t^2+1) dt`

Nem egy egyszerű integrál ez. Legyen `t=(tan u)/3`, ekkor `(dt)/(du)=1/(3cos^2 u)`, így `dt=1/(3cos^2 u) du`. A határok pedig 0 és `arctan 6`. Írjuk fel az integrált `u`-val:

`S=2/3 int_0^{arctan 6} sqrt(tan^2 u+1)/(cos^2 u) du`

Az integrandusban `sqrt(tan^2 u+1)``=``sqrt((sin^2 u)/(cos^2 u)+1)``=``sqrt(sin^2 u+cos^2 u)/|cos u|``=``1/|cos u|`

Az integrálási tartományon a koszinusz pozitív, így az abszolút érték elhagyható:

`S=2/3 int_0^{arctan 6} 1/(cos^3 u) du`

Ez pedig egy nevezetes integrál: https://en.wikipedia.org/wiki/Integral_of_secant_cubed

`S=1/3 [(tan u)/(cos u)+ln|1/(cos u)+tan u|]_0^{arctan 6}``=``1/3 [6/(cos arctan 6)+ln|1/(cos arctan 6)+6|]`


`cos arctan 6 = 1/sqrt(6^2+1)=1/sqrt(37)`


`S=1/3 [6sqrt(37)+ln(sqrt(37)+6)]``=``2sqrt(37)+1/3 ln(sqrt(37)+6)``~~`` 12.996`

Ellenőrzés: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%5B5-2t%2C3t%5E2%2B1%5D%2C+0%3Ct%3C2+arc+length



Mivel a görbe egy parabolát ír le, a másik lehetőség, hogy függvénykapcsolattá alakítjuk (`y=3/4x^2-15/2x+79/4`), és az `S=int_{x_1}^{x_2}sqrt(1+(y'(x))^2)dx` képlettel számolunk ívhosszt. Ez egy ugyanilyen típusú integrálra vezetett volna:

`S=int_1^5 sqrt(9/4x^2-45/2x+229/4) dx`