Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Elméleti mechanika (égi mechanika)
Sipka Gergő
{ Tanár } kérdése
354
Egy üstökös a végtelenből v₀ sebességgel jön a naprendszerbe. Ha a Nap nem vonzaná, akkor b távra haladna el tőle. De mivel vonzza, milyen távra közelíti meg, mekkora itt a sebessége?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Fizika
Válaszok
1
AlBundy
{ Polihisztor }
megoldása
Legyen a tényleges távolság `r` és a tényleges sebesség `v`. Perdületmegmaradás:
`mv_0 b=mv r`
Energiamegmaradás:
`1/2 m v_0^2 = 1/2 m v^2-gamma (Mm)/r`
A tömeggel mindkét esetben egyszerűsíthetünk:
`v_0 b=v r`
`1/2 v_0^2 = 1/2 v^2-gamma M/r`
Ezt az egyenletrendszert kell megoldanunk. Kifejezve az első egyenletből a távolságot (`r=(v_0 b)/v`) és behelyettesítve a második egyenletbe:
`1/2 v_0^2 = 1/2 v^2-gamma (Mv)/(v_0 b)`
`1/2 v^2-(gamma M)/(v_0 b) v-1/2 v_0^2=0`
Ez másodfokú egyenlet `v`-re, a pozitív megoldás:
`v=(gamma M)/(v_0 b)+sqrt(((gamma M)/(v_0 b))^2+v_0^2)``=``(gamma M + sqrt(gamma^2 M^2+v_0^4b^2))/(v_0 b)`
Visszaszámolva a távolságot:
`r=(v_0^2 b^2)/(gamma M+sqrt(gamma^2 M^2+v_0^4 b^2))`
`mv_0 b=mv r`
Energiamegmaradás:
`1/2 m v_0^2 = 1/2 m v^2-gamma (Mm)/r`
A tömeggel mindkét esetben egyszerűsíthetünk:
`v_0 b=v r`
`1/2 v_0^2 = 1/2 v^2-gamma M/r`
Ezt az egyenletrendszert kell megoldanunk. Kifejezve az első egyenletből a távolságot (`r=(v_0 b)/v`) és behelyettesítve a második egyenletbe:
`1/2 v_0^2 = 1/2 v^2-gamma (Mv)/(v_0 b)`
`1/2 v^2-(gamma M)/(v_0 b) v-1/2 v_0^2=0`
Ez másodfokú egyenlet `v`-re, a pozitív megoldás:
`v=(gamma M)/(v_0 b)+sqrt(((gamma M)/(v_0 b))^2+v_0^2)``=``(gamma M + sqrt(gamma^2 M^2+v_0^4b^2))/(v_0 b)`
Visszaszámolva a távolságot:
`r=(v_0^2 b^2)/(gamma M+sqrt(gamma^2 M^2+v_0^4 b^2))`
Módosítva: 6 éve
0
- Még nem érkezett komment!