Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Matek-konvergens-e az alábbi kopmlex sor

376
Állapítsa meg, hogy konvergens-e az alábbi komplex sor!
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Matematika

Válaszok

2
`(5n+2i)/(2n^3-n^2 i)``=``((5n+2i)(2n^3+n^2 i))/(4n^6+n^4)``=``(10n^4-2n^2+9n^3i)/(4n^6+n^4)``=``(10n^2-2)/(4n^4+n^2) + i 9/(4n^3+n)`

A komplex sor pontosan akkor konvergens, ha a valós része és a képzetes része is konvergens. Tehát az alábbi, immár valós sorok konvergenciájáról kell döntenünk:

`sum_{n=1}^{oo}(10n^2-2)/(4n^4+n^2)`

`sum_{n=1}^{oo} 9/(4n^3+n)`

Ezek pedig triviálisan konvergensek a majoráns kritérium alapján:

`(10n^2-2)/(4n^4+n^2) lt (10n^2)/(4n^4) =5/2*1/n^2`

`9/(4n^3+n) lt 9/4 * 1/n^2`

És `sum 1/n^2` konvergens, tehát a vizsgált komplex sor is konvergens.
0

Másik megoldás: Ha egy sor abszolút konvergens, akkor konvergens is.
Nézzük az abszolút értékét, és keressünk nála nagyobb sorozat-elemeket (majoráns kritérium) :

`|5n-2i|/|2n^3-n^2i|=1/n^2 |5n-2i|/|2n-i|`
Most keressünk a számlálónál nagyobb, a nevezőnél kisebb kifejezéseket, hogy a tört ennél nagyobb legyen: `5n+2 > |5n-2i|` és `2n < |2n-i|`
` < 1/n^2 (5n+2)/(2n)`
Jó lenne valami még egyszerűbbre alakítani, ami persze ennél is nagyobb. Pl. `n ≥ 2` esetén teljesül az, hogy `6n ≥ 5n+2`, és az is bőven elég, hogy egy adott `n`-től kezdve igaz csak:
` ≤ 1/n^2 (6n)/(2n)=3/n^2`

A `3·sum_(n=1)^∞ 1/n^2` pedig közismerten konvergens.
Módosítva: 1 éve
0