Geometria

A párhuzamos egyenes egy újabb szabályos háromszögre és egy húrtrapézra bontja a szabályos háromszöget, ahol a kisebbik háromszög területe fele a nagyobbiknak. Szabályos háromszögek hasonlóak egymáshoz, mivel szögeik megegyeznek, területeik aránya kisebb/nagyobb=1/2, ez megegyezik a hasonlósági tényező, a λ négyzetével, tehát λ²=1/2, vagyis λ=1/√2, ez pedig megegyezik az oldalhosszok arányával: kisebb/nagyobb=1/√2, ha a kisebb háromszög oldala x, akkor x/18=1/√2, erre x=18/√2 cm adódik, ezt ha √2-vel bővítjük, akkor 18*√2/2=9*√2 cm adódik. Tehát a kisebbik háromszög kerülete 3*9*√2=27*√2 cm.

A trapéz két alapjának hossza 18 és 9*√2 cm, a szárak hossza 18-9*√2, tehát a trapéz kerülete: 18+9*√2+18-9*√2+18-9*√2=54-9*√2 cm, tehát a kerületek aránya:

trapéz/háromszög=(54-9*√2)/(27*√2), √2-vel bővítve: (54*√2-9*2)/(27*2)=(54*√2-18)/54=√2-(1/3) a kerületek aránya.

Ha esetleg még nem tanultátok a hasonlóságot, akkor hasonlóság nélkül is levezetem neked.