Szia!

Mivel a halmazok nincsenek konkrétan definiálva, azaz nem tudjuk, hogy mi tartozik a halmazokba, amikről ezek a műveletek szólnak, ezért gondolom általánosan kell leírni. Minden feladatnál úgy veszem, hogy csak A és B halmazok vannak (plusz természetesen az alaphalmaz), és A-nak és B-nek van egy közös része.

Az első A\A az A különbség A halmaz. Azt jelenti, hogy az A halmazból kivonjuk az A halmaz elemeit, azaz önmagát. A végeredmény így üres halmaz.

A b) feladatban az A halmazból vonjuk ki az üres halmazt, azaz olyan, mintha semmi nem történne. Az eredmény az érintetlen, eredeti A halmaz.

A c)-ben az üres halmazból vonjuk ki az A elemeit. Nem vagyok benne biztos, hogy ez értelmes-e és ha igen, akkor mi a megoldása. Sejtem, hogy üres halmaz marad, de nem tudom biztosan. Lehetséges, hogy van rá valami szabály, amire már nem emlékszem.

A d)-ben az A unió (A komplementer) halmaz a kérdés, ami nem más, mint az A halmaz és az A komplementer (= minden, ami nem A) egyesítése, összeöntése. Az eredmény a teljes alaphalmaz, amiben értelmezve van az A és a többi, nem A halmaz.

Az e) az A metszet (A komplementer), tehát az A halmaz és az A-n kívül minden metszete. A komplementer jelentéséből adódóan ennek a végeredménye üres halmaz, mert A komplementere minden, ami nem A, ennek pedig értelemszerűen nincs közös része (azaz olyan, ami része A-nak és A komplementernek) A-val, hiszen pont ez a lényege a komplementernek.

Az f) az A különbség B halmaz és a B metszete, ami szintén üres, mert A-ból kivesszük azokat az elemeket, amik B-nek is elemei (ez lesz A különbség B), és így semmi nem marad, ami közös lenne A-ban és B-ben, hiszen pont ezt tettük "tönkre" a kivonással.

A g) feladat A metszet (B komplementer), tehát a metszete A-nak és mindennek, ami nem B. Ha csak ez a két halmaz van (az alaphalmazon kívül), és A metszi B-t, akkor ez is üres halmaz, mert A csak B-t metszi (és fordítva is igaz). Ha B-t kizárjuk a metszési lehetőségek közül, akkor semmi nem marad. Az alaphalmaz még esélyes lenne, azonban azt nem metszi, hanem annak eleme az A halmaz (ábrázolva látszik is, hogy nem közös részük van, hanem az A teljesen benne van a külső nagy téglalap alakú alaphalmazban).

A h) részben (A unió B) metszet (A komplementer). Az A unió B jelentése A és B elemei összeöntve, az A komplementer jelentése minden, ami nem A. Lerajzolva nekem ez úgy tűnik, mintha B\A lenne, azaz B halmaz az A halmaz elemei nélkül.

Az i)-ben (B komplementer különbség A komplementer) unió (A metszet B). A B komplementere minden, ami nem B, tehát az A-nak az a része, ami csak A metszet nélkül (mert a metszeten osztoznak) és alaphalmaz, az A komplementer minden, ami nem A, tehát csak B metszet nélkül (metszeten osztoznak) és alaphalmaz. Ezt ábrázolhatod két külön ábrán: felrajzolod az alaphalmaz téglalapját kétszer, mindkettőbe a két halmazt metszettel, az egyiken kiszínezed A komplementer részeit, a másikon B komplementer részeit. A B komplementeres ábráról (amelyikBŐL kivonunk) kiradírozod azokat a beszínezett részeket, amelyekET ki kell vonni, azaz amelyek be vannak színezve az A komplementer ábráján, így csak az A halmaz marad, metszet nélkül pontosabban, azaz A\(A metszet B). Ezt egyesítve A metszet B-vel (kiszínezve a metszetet a B komplementeres ábrán) kiadja a teljes A halmazt metszettel. Az eredmény A halmaz.

A j) feladatban A és B uniójának és A komplementer és B komplementer uniójának a közös részt keressük. Ezt megint lehet ábrázolni. Hogy ne kavarodjanak egybe a színek, vegyünk három ábrát, ami kezdetben három téglalap, bennük egy-egy A és B metszettel. Az elsőn színezzük be A unió B-t, azaz A-t és B-t is. A másodikon A komplementerét, a harmadikon B komplementerét. A két utolsó ábrán keressük azt a részt (A komplementer unió B komplementer), amelyik legalább az egyiken be van színezve. Ha összesítjük ezeket mondjuk egy negyedik ábrába, vagy rászínezünk az egyikre, akkor megkapjuk a teljes alaphalmazt a metszet nélkül, azaz U\(A metszet B).

Ennek keressük a közös részét A metszet B-vel, azaz a közös rész. Színekkel fogalmazva keressük azokat, amelyik részek be vannak színezve mindkét ábrán. Látszik, hogy ez az A metszet nélkül és B metszet nélkül, tehát az eredmény [ A\(A metszet B) ] unió [ B\(B metszet A) ]

A zárójelek, amiket használtam természetesen nem kellenek, csak azért írtam mindenhol, hogy egyértelmű legyen, hogy mi mivel van együtt.