Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Elméleti nechanika
Sipka Gergő{ Tanár } kérdése
318
1. m tömegű E energiájú részecske mozog 1 dimenzióban, a következő potenciál mentén:
(Végtelen, ha x<0
v(x)=a•x^2, ha x>0)
Határozzuk meg, hogyan függ a mozgás periódus ideje E-től?
2.Írjuk le egy részecske mozgását az U(x)=-A•x^2 potenciálban, ha tudjuk, hogy az energiája 0.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Fizika
Válaszok
1
AlBundy{ Polihisztor }
megoldása
1. feladat:
Feltételezem, hogy `E` és `a` pozitív. Ekkor a részecske kötött állapotban van, csak a `0 le x le sqrt(E/a)` pontokban tartózkodhat (mert csak itt igaz, hogy `V(x) le E`). Ezeken a helyeken az energiamegmaradásból az alábbi mozgásegyenlet adódik:
`E=1/2 m dot x ^2 + ax^2`
Kifejezve a sebességet:
`dot x = pm sqrt(2/m (E-ax^2))`
Innen:
`dt = pm (dx)/sqrt(2/m (E-ax^2))`
Így a periódusidő:
`T=2 int_0^sqrt(E/a) (dx)/sqrt(2/m (E-ax^2))`
Éljünk az `x=sqrt(E/a)u` változóhelyettesítéssel! Ekkor `dx=sqrt(E/a)du`:
Az eredmény nem meglepő, mert a mozgás olyan, mintha egy `2a` rugóállandójú rugón lengene a test, és a rugó csak megnyúlni tudna, összenyomódni nem.
2. feladat:
Bár itt sem írtad, de gondolom, hogy `A gt 0`. (Ha `A` negatív, akkor a részecske egyetlen megengedett helyzete az `x=0` pont.) Ekkor az energiamegmaradás:
`1/2 m v^2 = -U(x)`
`1/2 m dot x^2 = A x^2`
Kifejezve a sebességet:
`dot x = pm sqrt((2A)/m)*|x|`
Most esetszétválasztást kellene csinálni aszerint, hogy az `x` tengely melyik felén van a test és melyik irányba mozog. Nézzük például azt, hogy `x gt 0` és `dot x lt 0`, tehát az `x` tengely jobb oldalán van és balra mozog:
`dot x = - sqrt((2A)/m)*x`
Innen:
`(dx)/x = - sqrt((2A)/m)dt`
Mondjuk, hogy a `t_0` időpillanatban az `x_0` pontban van a test. Integrálva mindkét oldalt:
Sipka Gergő:
Nagyon szépen köszönöm a megoldást! Annyi kérdésem lenne az első feladathoz, hogy mi ez a √(E/a)? Ez honnan jön? Nem tudom levezetni a V ( x ) ≤ E egyenlőtlenségből.
4 éve0
AlBundy:
Azt egyből tudjuk, hogy `x` negatív nem lehet, mert ott végtelen a potenciál. Tehát az `ax^2 le E` egyenlőtlenséget kell megoldanunk pozitív `x`-ekre. Mindkét oldalt elosztva `a`-val, majd gyököt vonva kijön, hogy `x le sqrt(E/a)`.
4 éve0