Elméleti nechanika

1. feladat:
Feltételezem, hogy `E` és `a` pozitív. Ekkor a részecske kötött állapotban van, csak a `0 le x le sqrt(E/a)` pontokban tartózkodhat (mert csak itt igaz, hogy `V(x) le E`). Ezeken a helyeken az energiamegmaradásból az alábbi mozgásegyenlet adódik:

`E=1/2 m dot x ^2 + ax^2`

Kifejezve a sebességet:

`dot x = pm sqrt(2/m (E-ax^2))`

Innen:

`dt = pm (dx)/sqrt(2/m (E-ax^2))`

Így a periódusidő:

`T=2 int_0^sqrt(E/a) (dx)/sqrt(2/m (E-ax^2))`

Éljünk az `x=sqrt(E/a)u` változóhelyettesítéssel! Ekkor `dx=sqrt(E/a)du`:

`T=2 int_0^1 (sqrt(E/a)du)/sqrt((2E)/m (1-u^2))``=``sqrt((2m)/a) int_0^1 (du)/sqrt(1-u^2)``=``sqrt((2m)/a) *[arcsin u]_0^1``=``pi sqrt(m/(2a))`

Az eredmény nem meglepő, mert a mozgás olyan, mintha egy `2a` rugóállandójú rugón lengene a test, és a rugó csak megnyúlni tudna, összenyomódni nem.



2. feladat:
Bár itt sem írtad, de gondolom, hogy `A gt 0`. (Ha `A` negatív, akkor a részecske egyetlen megengedett helyzete az `x=0` pont.) Ekkor az energiamegmaradás:

`1/2 m v^2 = -U(x)`

`1/2 m dot x^2 = A x^2`

Kifejezve a sebességet:

`dot x = pm sqrt((2A)/m)*|x|`

Most esetszétválasztást kellene csinálni aszerint, hogy az `x` tengely melyik felén van a test és melyik irányba mozog. Nézzük például azt, hogy `x gt 0` és `dot x lt 0`, tehát az `x` tengely jobb oldalán van és balra mozog:

`dot x = - sqrt((2A)/m)*x`

Innen:

`(dx)/x = - sqrt((2A)/m)dt`

Mondjuk, hogy a `t_0` időpillanatban az `x_0` pontban van a test. Integrálva mindkét oldalt:

`int_{x_0}^{x(t)} (dx)/x = - int_{t_0}^{t} sqrt((2A)/m) dt`

`[ln x]_{x_0}^{x(t)} = sqrt((2A)/m) (t_0-t)`

`ln ((x(t))/x_0) = sqrt((2A)/m) (t_0-t)`

`x(t) = x_0 e^(sqrt((2A)/m) (t_0-t))`

A többi esetet rád bízom, ugyanígy kell csinálni.