Elektromosságtan

Helyezzük a feladatot koordinátarendszerbe a következőképpen (lásd a mellékelt ábrát): a rúd az `y` tengely mentén helyezkedik el, az origó a rúd középpontjában van. Így a rúd két vége az `y=-L/2` és `y=L/2` pontokban van, a térerősséget az `x` tengely mentén keressük. Vegyük fel a rúd egy infinitezimálisan kicsi `dy` szakaszát az origótól `y` távolságra. Ennek a kis szakasznak a töltése `dQ=tau dy`, távolsága az `x` tengely egy pontjától `r=sqrt(x^2+y^2)`. A `dy` szakaszt ponttöltésnek tekinthetjük, így

`dE=1/(4 pi epsilon) (dQ)/(r^2)``=``1/(4 pi epsilon) (tau dy)/(x^2+y^2)`

nagyságú elektromos teret hoz létre az `x` tengely `x` koordinátájú pontjában.

Világos, hogy a `(0, -y)` helyen elhelyezkedő rúdszakasz tere ugyanekkora, de iránya olyan, hogy `dE`-nek az `y` irányú komponensét kioltja, az eredő tér tisztán `x` irányú. Vagyis elég a rúdszakaszok terének `x` irányú komponenseit összegeznünk:

`dE_x=dE cos alpha``=``dE x/sqrt(x^2+y^2)``=``1/(4 pi epsilon) (tau dy)/(x^2+y^2) x/sqrt(x^2+y^2)``=``1/(4pi epsilon) (x tau dy)/(x^2+y^2)^(3/2)`

Az eredő teret megkapjuk, ha a `dE_x` elemi töltést integráljuk a rúd teljes hossza mentén:

`E=int_(-L/2)^(L/2) dE_x``=``(x tau)/(4 pi epsilon) int_(-L/2)^(L/2) (x^2+y^2)^(-3/2) dy``=``(x tau)/(4 pi epsilon) [y/(x^2sqrt(x^2+y^2))]_(-L/2)^(L/2)``=``(tau L)/(4 pi epsilon)* 1/(xsqrt(x^2+(L/2)^2))`

A számlálóban `tau L` éppen a rúd teljes töltése.