Teljes valószínűség

Igen.
A; 4/7
B: 2/7
C: 1/7

Ebből jön ki:
`x + 1/2 x + 1/4 x = 1`

------------------
Magyarázat:

Egy játszmában van egy "címtartó" és egy "kihívó". A "címtartó" volt a korábbi győztes. Ha a "címtartó" nyer, akkor vége a versenynek és ő a gyöztes. Ha viszont a "kihívó" nyer, akkor folytatódik tovább a játék.
Induláskor A a címtartó.
Hoppá, ezt benéztem, amikor tegnap fejben megoldottam a feladatot, az első mérkőzésre még nem címtartóként jut A, azt a meccset még külön kell kezelni. Csak az első mérkőzés után, ha A nyert, akkor lesz ő a címtartó. Ettől felborul a dolog, majd kiderül a végén, mennyire... Mindenesetre most úgy tűnik, hogy neked van igazad, nem a fenti a végeredmény.

Szóval tegyük fel, hogy a második mérkőzéstől kezdve N mérkőzésen át mindig a kihívó nyer. Ilyen menetek vannak:
Ha először B nyer: AB, BC, CA, AB, BC, CA, AB, stb.
Ha először A nyer: AB, AC, CB, BA, AC, CB, BA, stb.
(A másodiktól kezdve akit először írtam, ő a címtartó és a másik a kihívó.)
Aztán az N+1-edig mérközésen a címtartó nyer és vége van a versenynek.

Legyen a második mérkőzéstől kezdve annak a valószínűsége, hogy az akkori címtartó végül (esetleg sok menet után) nyer, `x`. Mivel minden mérkőzés független az előzőtől, ez a valószínűség bármelyik mérkőzéstől kezdve ugyanannyi.

Ezeket tudjuk leolvasni a fenti két sorozatból:

Ha először B nyert:
A második menetből ez írható fel:
`P("B nyeri a versenyt" | "először B nyert") = x`
A harmadik menetből:
`P("C nyeri a versenyt" | "először B, másodjára C nyert") = x`
A negyedik menetből:
`P("A nyeri a versenyt" | "először B, másodjára C, harmadjára A nyert") = x`

Ha először A nyert:
A második menetből ez írható fel:
`P("A nyeri a versenyt" | "először A nyert") = x`
A harmadik menetből:
`P("C nyeri a versenyt" | "először A, másodjára C nyert") = x`
A negyedik menetből:
`P("B nyeri a versenyt" | "először A, másodjára C, harmadjára B nyert") = x`

Nem is kell tovább menni, mert innen már újraindulnak a ciklusok.

A feltételes valószínűségekből a teljesre kell még átmenni. Először lehet kicsit egyszerűsíteni a feltételes valószínűségeket, mert mondjuk a második egyenletnél `P("C nyeri a versenyt" | "először B, másodjára NEM C nyert") = 0`, hisz akkor másodjára is B nyert és vége a versenynek. Hasonlóan egyszerűsödnek a többiek is és ez marad:

Ha először B nyert:
`P("B nyeri a versenyt" | "először B nyert") = x`
`P("C nyeri a versenyt" | "először B nyert") = 1/2 x`
`P("A nyeri a versenyt" | "először B nyert") = 1/2 1/2 x`

Ha először A nyert:
`P("A nyeri a versenyt" | "először A nyert") = x`
`P("C nyeri a versenyt" | "először A nyert") = 1/2 x`
`P("B nyeri a versenyt" | "először A nyert") = 1/2 1/2 x`

Végül a teljes valószínűség tételével:
`P("B nyeri a versenyt") = 1/2(x) + 1/2 (1/2 1/2 x) = 5/8 x`
`P("C nyeri a versenyt") = 1/2 (1/2 x) + 1/2 (1/2 x) = 1/2 x`
`P("A nyeri a versenyt") = 1/2 (1/2 1/2 x) + 1/2 (x) = 5/8 x`

Ezeknek az összege 1:
`5/8 x + 1/2 x + 5/8 x = 1`
`x = 4/7`

Vagyis:
`P("A nyeri a versenyt") = 5/8 4/7 = 5/14`
`P("B nyeri a versenyt") = 5/8 4/7 = 5/14`
`P("C nyeri a versenyt") = 1/2 4/7 = 4/14`

Szóval picit nagyobb esélye van A-nak meg B-nek mint C-nek, de A és B egyforma.

Azért aszimmetrikus a dolog, mert az első mérkőzés miatt A-nak meg B-nek van csak esélye, hogy első alkalommal címtartó legyen. C hozzájuk képest később tud csak címtartó lenni...