Matematika sűrgős!

Ismeretes a számtani és a négyzetes közép közötti összefüggés:

`(a+b+c)/3 le sqrt((a^2+b^2+c^2)/3)`

`2019/3 le sqrt((a^2+b^2+c^2)/3)`

`2019^2/9 le (a^2+b^2+c^2)/3`

`a^2+b^2+c^2 ge 2019^2/3`

Valamint a harmonikus és a számtani közép közötti összefüggés is:

`3/(1/a+1/b+1/c) le (a+b+c)/3`

`3/(1/a+1/b+1/c) le 2019/3`

`1/(1/a+1/b+1/c) le 2019/9`

`1/a+1/b+1/c ge 9/2019`

A két végeredményt összeszorozva:

`(a^2+b^2+c^2)(1/a+1/b+1/c) ge 2019^2/3 * 9/2019`

`(a^2+b^2+c^2)(1/a+1/b+1/c) ge 3*2019`

Végezzük el részlegesen a beszorzást a bal oldalon:

`a^2(1/a+1/b+1/c)+b^2(1/a+1/b+1/c)+c^2(1/a+1/b+1/c) ge 3*2019`

`a^2(1/b+1/c)+b^2(1/a+1/c)+c^2(1/a+1/b) + a+b+c ge 3*2019`

Vonjunk ki mindkét oldalból `a+b+c=2019`-et:

`a^2(1/b+1/c)+b^2(1/a+1/c)+c^2(1/a+1/b) ge 2*2019`

Végezzük el a beszorzásokat a bal oldalon:

`a^2/b+a^2/c+b^2/a+b^2/c+c^2/a+c^2/b ge 2*2019`

Bővítsük az összes törtet a számlálóban szereplő változóval:

`a^3/(ab)+a^3/(ac)+b^3/(ab)+b^3/(bc)+c^3/(ac)+c^3/(bc) ge 2*2019`

Végül vonjuk össze a közös nevezőjű törteket, és el is jutottunk a bizonyítandó egyenlőtlenséghez.

`(a^3+b^3)/(ab)+(a^3+c^3)/(ac)+(b^3+c^3)/(bc) ge 2*2019`

Az egyenlőség teljesül, ha `a=b=c=673`.