Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Matematika sűrgős!
Marci 1032
kérdése
249
Bizonyitsd be hogy bármely x és y szigorúan pozitív valós számok eseten x²/y+ y²/x ≥ x+y
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
1
AlBundy
{ Polihisztor }
megoldása
Mindig igaz, hogy:
`(x-y)^2 ge 0`
Bontsuk fel a zárójelet:
`x^2+y^2-2xy ge 0`
Adjunk hozzá mindkét oldalhoz `xy`-t:
`x^2+y^2-xy ge xy`
Szorozzuk be mindkét oldalt `x+y`-nal. `x gt 0` és `y gt 0` miatt megtehetjük, és a relációs jel sem változik:
`(x^2+y^2-xy)(x+y) ge xy(x+y)`
A bal oldalon végezzük el a beszorzást:
`x^3+y^3 ge xy(x+y)`
Végül osszuk el mindkét oldalt `xy`-nal. A pozitivitás miatt ez szintén nem okoz semmi gondot, és megkaptuk a bizonyítandó egyenlőtlenséget:
`x^2/y+y^2/x ge x+y`
`(x-y)^2 ge 0`
Bontsuk fel a zárójelet:
`x^2+y^2-2xy ge 0`
Adjunk hozzá mindkét oldalhoz `xy`-t:
`x^2+y^2-xy ge xy`
Szorozzuk be mindkét oldalt `x+y`-nal. `x gt 0` és `y gt 0` miatt megtehetjük, és a relációs jel sem változik:
`(x^2+y^2-xy)(x+y) ge xy(x+y)`
A bal oldalon végezzük el a beszorzást:
`x^3+y^3 ge xy(x+y)`
Végül osszuk el mindkét oldalt `xy`-nal. A pozitivitás miatt ez szintén nem okoz semmi gondot, és megkaptuk a bizonyítandó egyenlőtlenséget:
`x^2/y+y^2/x ge x+y`
0
- Még nem érkezett komment!