Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Fej vagy írás játék
kapesmate
kérdése
574
Péternek k Ft-ja, Tamásnak n-k forintja van. Egy érme feldobásánál, ha fej jön ki, akkor Péter nyer 1 Ft-ot, különben Tamás, és ezt addig folytatják, amíg csak egyiküknek marad pénze. Mennyi a valószínűsége, hogy Péter veszti el az összes pénzét? Mennyiben módosul ez az eredmény, ha két érmét dobnak fel, és ha két fej jön ki, akkor Péter nyer 1 Ft-ot, különben Tamás, és ezt addig folytatják, amíg csak egyiküknek marad pénze?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
Valószínűség, valszám, végtelen, játék, Teljes, esemény, bayes, eseményrendszer, bináris
Valószínűség, valszám, végtelen, játék, Teljes, esemény, bayes, eseményrendszer, bináris
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
1
AlBundy
{ Polihisztor }
megoldása
Oldjuk meg általánosan mindkét esetet egyszerre. Legyen `p` a valószínűsége, hogy Péter nyer egy adott körben, ekkor `1-p` a valószínűsége, hogy Tamás nyer. Továbbá legyen `P_k` annak a valószínűsége, hogy Péter `k` forinttal kezdve megnyeri az egész játékot:
`P_k = \text{P}(\text{Péter nyer}|\text{Péternek kezdetben }k\text{ forintja van})`
Nézzük az első kört. Ha az első körben Péter nyer, akkor az olyan, mintha `k+1` forinttal kezdené a játékot, és mostantól már `P_(k+1)` az esélye a nyerésre. Ha veszít az első körben, akkor pedig `P_(k-1)`. Eszerint a teljes valószínűség tételét felhasználva kifejthetjük a `P_k` valószínűséget:
`P_k=P_(k+1)*p + P_(k-1)*(1-p)`
Innentől csak algebra, fel kell oldani a rekurziót. Használjuk ki, hogy `p+(1-p)=1`:
`P_k*p+P_k*(1-p)=P_(k+1)*p + P_(k-1)*(1-p)`
`P_k*(1-p) - P_(k-1)*(1-p) = P_(k+1)*p - P_k*p`
`(1-p)/p (P_k - P_(k-1)) = P_(k+1) - P_k`
Helyettesítsük be `k` helyére az értékeket `1`-től `k-1`-ig:
`(1-p)/p (P_1 - P_0) = P_2 - P_1`
`(1-p)/p (P_2 - P_1) = P_3 - P_2`
...
`(1-p)/p (P_(k-1) - P_(k-2)) = P_k - P_(k-1)`
Nézzük az egyenletek bal oldalát. Tudjuk, hogy `P_0=0`, mert ekkor Péter már kezdetben elvesztette a játékot. Ezzel az első egyenlet így írható:
`(1-p)/p * P_1 = P_2 - P_1`
Ezt viszont behelyettesíthetjük a második egyenletbe:
`((1-p)/p)^2 * P_1 = P_3 - P_2`
Amit pedig a harmadik egyenletbe lehet beírni, és így tovább. Az utolsó egyenlet:
`((1-p)/p)^(k-1) * P_1 = P_k - P_(k-1)`
Adjuk össze ezt a `k-1` darab egyenletet:
`P_1 [(1-p)/p + ((1-p)/p)^2 + cdots + ((1-p)/p)^(k-1)] = P_k - P_1`
`P_k = P_1 [1 + (1-p)/p + ((1-p)/p)^2 + cdots + ((1-p)/p)^(k-1)]`
A szögletes zárójelben egy mértani sorozat van. Ha `p=1/2`, akkor `P_k=kP_1`. Ennek `k=n` esetében 1-et kell adnia, hiszen ekkor Péter már rögtön nyert. Innen `P_1=1/n`, vagyis `P_k=k/n`.
Ha `p ne 1/2`, akkor használhatjuk a mértani sorozat összegképletét, ekkor:
`P_k=P_1 (((1-p)/p)^k-1)/((1-p)/p -1)`
A `k=n` helyettesítésből most `P_1=((1-p)/p -1)/(((1-p)/p)^n-1)` adódik.
Tehát egy érme feldobásánál `1-n/k` az esélye, hogy Péter veszít.
Két érme feldobásánál `p=1/4` és `P_1=2/(3^n-1)`. Így `1-(3^k-1)/(3^n-1)` az esélye, hogy Péter veszít.
Leszimuláltam a játékot Pythonban (lásd a mellékelt képet), eszerint jól számoltam.
`P_k = \text{P}(\text{Péter nyer}|\text{Péternek kezdetben }k\text{ forintja van})`
Nézzük az első kört. Ha az első körben Péter nyer, akkor az olyan, mintha `k+1` forinttal kezdené a játékot, és mostantól már `P_(k+1)` az esélye a nyerésre. Ha veszít az első körben, akkor pedig `P_(k-1)`. Eszerint a teljes valószínűség tételét felhasználva kifejthetjük a `P_k` valószínűséget:
`P_k=P_(k+1)*p + P_(k-1)*(1-p)`
Innentől csak algebra, fel kell oldani a rekurziót. Használjuk ki, hogy `p+(1-p)=1`:
`P_k*p+P_k*(1-p)=P_(k+1)*p + P_(k-1)*(1-p)`
`P_k*(1-p) - P_(k-1)*(1-p) = P_(k+1)*p - P_k*p`
`(1-p)/p (P_k - P_(k-1)) = P_(k+1) - P_k`
Helyettesítsük be `k` helyére az értékeket `1`-től `k-1`-ig:
`(1-p)/p (P_1 - P_0) = P_2 - P_1`
`(1-p)/p (P_2 - P_1) = P_3 - P_2`
...
`(1-p)/p (P_(k-1) - P_(k-2)) = P_k - P_(k-1)`
Nézzük az egyenletek bal oldalát. Tudjuk, hogy `P_0=0`, mert ekkor Péter már kezdetben elvesztette a játékot. Ezzel az első egyenlet így írható:
`(1-p)/p * P_1 = P_2 - P_1`
Ezt viszont behelyettesíthetjük a második egyenletbe:
`((1-p)/p)^2 * P_1 = P_3 - P_2`
Amit pedig a harmadik egyenletbe lehet beírni, és így tovább. Az utolsó egyenlet:
`((1-p)/p)^(k-1) * P_1 = P_k - P_(k-1)`
Adjuk össze ezt a `k-1` darab egyenletet:
`P_1 [(1-p)/p + ((1-p)/p)^2 + cdots + ((1-p)/p)^(k-1)] = P_k - P_1`
`P_k = P_1 [1 + (1-p)/p + ((1-p)/p)^2 + cdots + ((1-p)/p)^(k-1)]`
A szögletes zárójelben egy mértani sorozat van. Ha `p=1/2`, akkor `P_k=kP_1`. Ennek `k=n` esetében 1-et kell adnia, hiszen ekkor Péter már rögtön nyert. Innen `P_1=1/n`, vagyis `P_k=k/n`.
Ha `p ne 1/2`, akkor használhatjuk a mértani sorozat összegképletét, ekkor:
`P_k=P_1 (((1-p)/p)^k-1)/((1-p)/p -1)`
A `k=n` helyettesítésből most `P_1=((1-p)/p -1)/(((1-p)/p)^n-1)` adódik.
Tehát egy érme feldobásánál `1-n/k` az esélye, hogy Péter veszít.
Két érme feldobásánál `p=1/4` és `P_1=2/(3^n-1)`. Így `1-(3^k-1)/(3^n-1)` az esélye, hogy Péter veszít.
Leszimuláltam a játékot Pythonban (lásd a mellékelt képet), eszerint jól számoltam.
0
- Még nem érkezett komment!