Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Elméleti Mechanika 2.0

35
R sugaró körpályán v₀ sebességgel induló pont gyorsulása a sebességgel állandó α szöget alkot. Mekkora a pont sebességének nagysága az idő függvényében?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Fizika

Válaszok

1
Nem egyenletes körmozgásról van szó.
A pont gyorsulása két komponensre bontható:
- centripetális gyorsulás: `a_(cp)=v^2/R`
- tangenciális gyorsulás: `a_t=(dv)/(dt)`
A sebesség és a gyorsulások is a fenti képletekben skalár mennyiségek, szóval a megfelelő vektorok nagysága az, amit felírtam. A vektorok iránya: a centripetális gyorsulás vektor a kör középpontja felé mutat, a tangenciális pedig érintőirányú; tehát ezek egymásra merőlegesek.

Az eredő gyorsulás az `a_(cp)-a_t` befogójú derékszögű háromszögből Pitagorasszal számolható:
`a=sqrt(c_(cp)^2+a_t^2)`
`tg\ α=a_(cp)/a_t`

A sebesség növekszik, ezért a legelső képlet miatt az `a_(cp)` is nőni fog. Az α szög csak akkor lesz állandó az utolsó képlet szerint, ha `a_t` is nő:
`a_t=a_(cp)·ctg\ α`
`(dv)/(dt)=v^2/R·ctg\ α`
Ez egy szeparábilis differenciálegyenlet, könnyen megoldható átszorzással:
`1/v^2\ dv = (ctg\ α)/R\ dt`
`int 1/v^2\ dv = int (ctg\ α)/R\ dt`
`-1/v+C=(ctg\ α)/R t`
`v(t)=1/(C-(ctg\ α)/R t)`

A konstans `C` értékét úgy lehet kitalálni, hogy `t=0` esetén a sebbesség `v_0`:
`v_0=v(0)=1/(C-(ctg\ α)/R 0)=1/C`
`C=1/v_0`
`v(t)=1/(1/v_0-(ctg\ α)/R t)=(v_0·R)/(R-v_0·ctg\ α·t)`
0