Gondolom a lineárisan súrlódó közeg azt jelenti, hogy a súrlódási erő lineárisan függ a sebességtől:
`F_s=k·v`
Ez az erő felfelé mutat, persze lefelé van még a nehézségi erő.
A dinamika alapegyenlete:
`F=m·a`
`m·g-F_s=m·a`
`m·g-k·v=m·a`
Persze `v=(ds)/(dt)` és `a=(d^2s)/(dt^2)`:
(Számoljunk úgy, hogy az `s(t)` út nulláról indul és esés közben lefelé nől.)
`m·g-k·(ds)/(dt)=m·(d^2s)/(dt^2)`
`m·(d^2s)/(dt^2)+k·(ds)/(dt)=m·g`
`(d^2s)/(dt^2)+k/m·(ds)/(dt)=g`
Ez egy másodfokú inhomogén lineáris differenciálegyenelet, meg kell oldani...
A homogén diffegyenlet karakterisztikus egyenlete:
`λ^2+k/m·λ=0`
Ennek két gyöke:
`λ_1=0`
`λ_2=-k/m`
tehát a homogén diffegyenlet megoldásai az `e^(0·t)` és `e^(-k/m·t)` lineáris kombinációi:
`s(t)=C_1+C_2·e^(-k/m·t)`
Az inhomogén diffegyenlet egy partikuláris megoldása kísérletezéssel (próbafüggvénnyel) : a jobb oldalon konstans van (`g`), az rezonanciában lenne a homogén megoldásban szereplő konstanssal, ezért szorozzuk `t`-vel:
`s_(ip)(t)=C_3·t`
Ennek a deriváltjait kell az eredeti egyenletbe (`(d^2s)/(dt^2)+k/m·(ds)/(dt)=g`) helyettesíteni:
`0+k/m·C_3=g`
`C_3=m/k·g`

Tehát a diffegyenlet teljes megoldása:
`s(t)=C_1+C_2·e^(-k/m·t)+m/k·g·t`

`t=0` időpontban `s(0)=0` kell legyen:
`0=s(0)=C_1+C_2·1+0`
`C_1=-C_2`
ezért a mozgásegyenlet:
`s(t)=C(1-e^(-k/m·t))+m/k·g·t`

Hmm, valami még hiányzik, mert egy konstans (`C`) bennmaradt... nem tudom, hogyan lehetne kifejezni...

Mindenesetre ez azt jelenti, hogy elég nagy `t` esetén a mozgásegyenletből csak az `m/k·g·t` tag lesz az érdekes, ami pedig azt jelenti, hogy a test `v=m/k·g` állandó sebességgel esik le.

Kiegészítés:
Elküldés után rájöttem, hogy hogyan lehet a `C`-t kifejezni: 0 időpontban a sebességnek is nullának kell lennie. Tehát a derivált 0:

`s(t)=C(1-e^(-k/m·t))+m/k·g·t`
`s'(t)=C(1+k/m e^(-k/m·t))+m/k·g`
`0=s'(0)=C(1+k/m)+m/k·g`
`C=-(m/k g)/(1+k/m)=-m/k g · m/(m+k)`

Tehát a mozgásegyenlet:
`s(t)=m/k·g·(t-m/(m+k)(1-e^(-k/m·t)))`

A végét már nagyon éjfél után írtam, el is sikerült rontani a deriválást. Ez lenne a helyes:

`s(t)=C(1-e^(-k/m·t))+m/k·g·t`
`s'(t)=C(0+k/m e^(-k/m·t))+m/k·g`
`0=s'(0)=C·k/m+m/k·g`
`C=-m^2/k^2·g`

Visszahelyettesítve, és részletesebben levezetve az átalakításokat, hogy szebb legyen:
`s(t)=-m^2/k^2·g(1-e^(-k/m·t))+m/k·g·t`
`s(t)=m/k·g·t-m^2/k^2·g(1-e^(-k/m·t))`
`s(t)=m/k·g·(t-m/k(1-e^(-k/m·t)))`