Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Pitagorasz-tétel másképpen

37
Bizonyítsuk be, hogy a derékszögű háromszög a és b befogóira, valamint
c átfogóra érvényes a következő egyenlőség:

`c^2*(c^4-a^4-b^4)/(c^6-a^6-b^6)=2/3`.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
pitagorasz-tétel, algebra, trigonometria
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

1
Derékszögű háromszögre fennáll a Pitagorasz-tétel:
`c^2=a^2+b^2`

Emeljük négyzetre és köbre is ezt az egyenletet:
`c^4=a^4+b^4+2a^2b^2`
`c^6=a^6+b^6+3a^4b^2+3a^2b^4`

Rendezzük egy-egy oldalra az azonos kitevőket, és osszuk el egymással a két egyenletet:
`(c^4-a^4-b^4)/(c^6-a^6-b^6)=2/3 * (a^2b^2)/(a^4b^2+a^2b^4)`

A jobb oldalon egyszerűsíthetünk `a^2b^2`-tel:
`(c^4-a^4-b^4)/(c^6-a^6-b^6)=2/3 * 1/(a^2+b^2)`

Végül újra kihasználjuk a Pitagorasz-tételt a jobb oldalon, és készen vagyunk:
`(c^4-a^4-b^4)/(c^6-a^6-b^6)=2/3 * 1/(c^2)`
0