Keresés


Toplista

Toplista
  • betöltés...

Magántanár kereső

Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!

Kombinatorika

2227
Két valós szám összege 29. Ha az egyikből elveszünk 15-öt, a másikhoz pedig hozzáadunk 15-öt, az így kapott két szám szorzata éppen ötszöröse lesz az eredeti két szám szorzatának. Melyik lehet ez a két szám?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

1
Legyen az egyik szám `x`, a másik `29-x`.

A számok szorzata: `x*(29-x)=-x^2+29x`

A módosítás utáni szorzat: `(x-15)*(29-x+15)=-x^2+59x-660`

A feladat állítása szerint az utóbbi ötszöröse az előbbinek:
`5*(-x^2+29x)=-x^2+59x-660`

Ez egy sima másodfokú egyenlet, rendezzük nullára:
`2x^2-43x-330=0`

A megoldóképlet szerint két valós megoldás van: `x_1=27.5` és `x_2=-6`. Ezeknek a párjai (`29-x_i`) rendre `1.5` és `35`.

Tehát két ilyen számpár van: (27,5 és 1,5), valamint (-6 és 35).

Ellenőrzés:
`5*27.5*1.5=206.25`
`(27.5-15)*(1.5+15)=206.25`

`5*(-6)*35=-1050`
`(-6-15)*(35+15)=-1050`



Felmerülhet a kérdés, hogy a módosítás utáni szorzat felírásánál nem kell-e még egy esetet megnéznünk. Hiszen a `(x-15)*(29-x+15)` szorzatban `x`-et csökkentettem 15-tel, `29-x`-et pedig növeltem, de simán lehetett volna fordítva is, tehát az `(x+15)(29-x-15)` szorzatra is felírhattam volna az egyenletet. A válasz az, hogy ebből nem kaptunk volna új megoldásokat, hanem a számpárok másik tagját kaptuk volna meg, tehát a gyökök a 27,5 és -6 helyett 1,5 és 35 lettek volna.
Módosítva: 4 éve
-1