Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Kombinatorika

90
Két valós szám összege 29. Ha az egyikből elveszünk 15-öt, a másikhoz pedig hozzáadunk 15-öt, az így kapott két szám szorzata éppen ötszöröse lesz az eredeti két szám szorzatának. Melyik lehet ez a két szám?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

1
Legyen az egyik szám `x`, a másik `29-x`.

A számok szorzata: `x*(29-x)=-x^2+29x`

A módosítás utáni szorzat: `(x-15)*(29-x+15)=-x^2+59x-660`

A feladat állítása szerint az utóbbi ötszöröse az előbbinek:
`5*(-x^2+29x)=-x^2+59x-660`

Ez egy sima másodfokú egyenlet, rendezzük nullára:
`2x^2-43x-330=0`

A megoldóképlet szerint két valós megoldás van: `x_1=27.5` és `x_2=-6`. Ezeknek a párjai (`29-x_i`) rendre `1.5` és `35`.

Tehát két ilyen számpár van: (27,5 és 1,5), valamint (-6 és 35).

Ellenőrzés:
`5*27.5*1.5=206.25`
`(27.5-15)*(1.5+15)=206.25`

`5*(-6)*35=-1050`
`(-6-15)*(35+15)=-1050`



Felmerülhet a kérdés, hogy a módosítás utáni szorzat felírásánál nem kell-e még egy esetet megnéznünk. Hiszen a `(x-15)*(29-x+15)` szorzatban `x`-et csökkentettem 15-tel, `29-x`-et pedig növeltem, de simán lehetett volna fordítva is, tehát az `(x+15)(29-x-15)` szorzatra is felírhattam volna az egyenletet. A válasz az, hogy ebből nem kaptunk volna új megoldásokat, hanem a számpárok másik tagját kaptuk volna meg, tehát a gyökök a 27,5 és -6 helyett 1,5 és 35 lettek volna.
Módosítva: 2 hónapja
0