Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Képletek és összefüggések és egyéb

65
Megjegyzések az alacsony fokszámú diofantoszi egyenletek
megoldásáról a paraméteres ciklikus mátrixok módszerével.

Ciklikus vagy cirkuláns mátrix az olyan négyzetes mátrix,
amelynek elemei soronként (és oszloponként) ciklikusan
ismétlődnek, azaz bármelyik sor a közvetlenül fölötte álló
sorból úgy kapható, hogy annak mindegyik eleme helyébe az
illető elem bal oldali szomszédját írjuk. Az első elem helyébe -
amelynek nincs bal oldali szomszédja - a sor utolsó eleme
kerül.A ciklikus mátrixok két jó tulajdonsága: a mátrixszorzásra
nézve kommutatívak és két azonos típusú ciklikus mátrix
szorzása szintén ciklikus mátrixot eredményez. (Bizonyítható
teljes indukcióval is? ) Bizonyos diofantoszi egyenletek
megoldásánál kihasználható, hogy a paraméteres ciklikus
mátrix determinánsában viszonylag számottevő hatványösszeg
figyelhető meg. Ezt a jelenséget észlelhetjük a következő a
Pitagoraszi számhármasok megoldásának hátteréről írt
megjegyzésemben.

Legyen `A:=[[u,v],[v,u]]` egy kétparaméteres 2x2-es típusú
mátrix. Ekkor
`A^2= [[u^2+v^2,2uv],[2uv,u^2+v^2]]` és
`det(A^2)=det(A)^2`. A 2x2-es determináns kifejtése alapján
`det(A^2)=(u^2+v^2)^2-(2uv)^2 `
és így
` det(A^2)=u^4-2u^2v^2+v^4 `valamint
`det(A)^2=(u^2-v^2)^2`

és így
`(u^2-v^2)^2=(u^2+v^2)^2-(2uv)^2 `
ami alapján az `a^2+b^2=c^2` alakú pitagoraszi egyenlet
megoldható. Tehát
`(u^2-v^2)^2+(2uv)^2=(u^2+v^2)^2`.

A kapott megoldóképletet csak bevezetik a diákoknak, de
sohasem próbálják levezetni. Én legalább is egyetlen
tankönyvben vagy jegyzetben sem találkoztam ezzel a
megközelítéssel. A ciklikus mátrixok természetesen
felhasználhatók a viszonylag alacsony fokszámú
`a^m+b^m=c^n ` alakú diofantoszi egyenleteknél is,
ahol ` m != n ` feltételnek is teljesülnie kell.

Próbáljunk megoldó képletet keresni a `a^3=c^2-b^2`
diofantoszi egyenletre a paraméteres ciklikus mátrixok
módszerével. Legyen tehát A, mint fentebb. Ekkor
`A^3=[[ u(u^2+3v^2) ,v(3u^2+v^2)],[ v(3u^2+v^2),u(u^2+3v^2)]]`
és teljesülni fog a `det(A^3)=det(A)^3 `
azonosság is. Különben ez utóbbi összefüggés minden
mátrixra is teljesül. Az aktuális determináns kifejtése alapján
`det(A^3)=(u(u^2+3v^2))^2-(v(3u^2+v^2))^2 `
és így
`det(A^3)=u^6 - 3u^4v^2 + 3u^2v^4 - v^6 `
valamint
`det(A)^3=(u^2-v^2)^3 `
és így
`(u^2-v^2)^3=(u(u^2+3v^2))^2-(v(3u^2+v^2))^2`
ami alapján az `a^3+b^2=c^2` alakú diofantoszi egyenlet
megoldható. Tehát a megoldóképlet a következőképpen fog
kinézni:
`(u^2-v^2)^3+(v(3u^2+v^2))^2=(u(u^2+3v^2))^2`.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
ciklikus_mátrixok, diofantoszi_egyenletek
0
Felsőoktatás / Matematika

Válaszok

2
Megjegyzések az alacsony fokszámú diofantoszi egyenletek
megoldásáról a paraméteres ciklikus mátrixok módszerével.
(A megjegyzés folytatása)

Keressünk megoldóképletet az előbbi egyenlet párjára az
`a^2+b^2=c^3` alakú diofantoszi egyenletre.
Legyen `A:=[[u,vi],[vi,u]]`, ahol `i=sqrt(-1)` az imaginárius
egység. Ekkor
`A^3=[[ u(u^2-3v^2) ,v(3u^2-v^2)i],[ v(3u^2-v^2)i,u(u^2-3v^2)]]`.
Az aktuális determináns kifejtése alapján
`det(A^3)=(u(u^2-3v^2))^2+(v(3u^2-v^2))^2`
és így
`det(A^3)=u^6 + 3u^4v^2 + 3u^2v^4 + v^6 `
és
`det(A)^3=(u^2+v^2)^3`
és így
`(u^2+v^2)^3=(u(u^2-3v^2))^2+(v(3u^2-v^2))^2 `.
ami alapján az `a^2+b^2=c^3` alakú diofantoszi egyenlet
egyik megoldóképletéhez jutunk.

Gyakorlatilag elmondható, hogy a `det(A)^n=det(A^n)`
azonosság alapján a paraméteres ciklikus mátrixok módszere
működik minden `x^n=det(A^n)` alakú diofantoszi egyenlet
esetén, ahol n-ről feltételezzük, hogy nem túl nagy egész
szám. Mondjuk `n<10`. A nagy fokszám a kezelhetőség
rovására mehet. Az egyenlet jobb oldala a paraméteres ciklikus
mátrix tujdonságaitól függ. Természetesen a paraméteres
ciklikus mátrixok módszere nem működik minden esetben,
például ott ahol nincs megoldás. Például a nagy Fermat-
tételhez kapcsolódó probléma az `a^n+b^n=c^n ` diofantoszi
egyenlet esetén, ahol n>2 tetszőleges természetes szám.

Bizonyítsuk be, hogy a a következő diofantoszi problémákhoz
levezethetők a megoldóképletek.
1. feladat: `a^2+b^2=c^5`
2. feladat: `a^3+b^3+c^3-3abc=d^3`
3. feladat: `a^3+b^3=c^4`
Módosítva: 1 hónapja
0

Jópofa...

Az első még könnyen megy:

`A=[(u,v·i),(v·i,u)]`
`A^5=[(u^5-10v^2u^3+5v^4u, i(v^5-10u^2v^3+5u^4v)),(i(v^5-10u^2v^3+5u^4v),u^5-10v^2u^3+5v^4u)]`
`det(A^5)=(u^5-10v^2u^3+5v^4u)^2+(v^5-10u^2v^3+5u^4v)^2=(u^2+v^2)^5`
0