Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Képletek és összefüggések és egyéb
gyula205
kérdése
374
Megjegyzések az alacsony fokszámú diofantoszi egyenletek
megoldásáról a paraméteres ciklikus mátrixok módszerével.
Ciklikus vagy cirkuláns mátrix az olyan négyzetes mátrix,
amelynek elemei soronként (és oszloponként) ciklikusan
ismétlődnek, azaz bármelyik sor a közvetlenül fölötte álló
sorból úgy kapható, hogy annak mindegyik eleme helyébe az
illető elem bal oldali szomszédját írjuk. Az első elem helyébe -
amelynek nincs bal oldali szomszédja - a sor utolsó eleme
kerül.A ciklikus mátrixok két jó tulajdonsága: a mátrixszorzásra
nézve kommutatívak és két azonos típusú ciklikus mátrix
szorzása szintén ciklikus mátrixot eredményez. (Bizonyítható
teljes indukcióval is? ) Bizonyos diofantoszi egyenletek
megoldásánál kihasználható, hogy a paraméteres ciklikus
mátrix determinánsában viszonylag számottevő hatványösszeg
figyelhető meg. Ezt a jelenséget észlelhetjük a következő a
Pitagoraszi számhármasok megoldásának hátteréről írt
megjegyzésemben.
Legyen `A:=[[u,v],[v,u]]` egy kétparaméteres 2x2-es típusú
mátrix. Ekkor
`A^2= [[u^2+v^2,2uv],[2uv,u^2+v^2]]` és
`det(A^2)=det(A)^2`. A 2x2-es determináns kifejtése alapján
`det(A^2)=(u^2+v^2)^2-(2uv)^2 `
és így
` det(A^2)=u^4-2u^2v^2+v^4 `valamint
`det(A)^2=(u^2-v^2)^2`
és így
`(u^2-v^2)^2=(u^2+v^2)^2-(2uv)^2 `
ami alapján az `a^2+b^2=c^2` alakú pitagoraszi egyenlet
megoldható. Tehát
`(u^2-v^2)^2+(2uv)^2=(u^2+v^2)^2`.
A kapott megoldóképletet csak bevezetik a diákoknak, de
sohasem próbálják levezetni. Én legalább is egyetlen
tankönyvben vagy jegyzetben sem találkoztam ezzel a
megközelítéssel. A ciklikus mátrixok természetesen
felhasználhatók a viszonylag alacsony fokszámú
`a^m+b^m=c^n ` alakú diofantoszi egyenleteknél is,
ahol ` m != n ` feltételnek is teljesülnie kell.
Próbáljunk megoldó képletet keresni a `a^3=c^2-b^2`
diofantoszi egyenletre a paraméteres ciklikus mátrixok
módszerével. Legyen tehát A, mint fentebb. Ekkor
`A^3=[[ u(u^2+3v^2) ,v(3u^2+v^2)],[ v(3u^2+v^2),u(u^2+3v^2)]]`
és teljesülni fog a `det(A^3)=det(A)^3 `
azonosság is. Különben ez utóbbi összefüggés minden
mátrixra is teljesül. Az aktuális determináns kifejtése alapján
`det(A^3)=(u(u^2+3v^2))^2-(v(3u^2+v^2))^2 `
és így
`det(A^3)=u^6 - 3u^4v^2 + 3u^2v^4 - v^6 `
valamint
`det(A)^3=(u^2-v^2)^3 `
és így
`(u^2-v^2)^3=(u(u^2+3v^2))^2-(v(3u^2+v^2))^2`
ami alapján az `a^3+b^2=c^2` alakú diofantoszi egyenlet
megoldható. Tehát a megoldóképlet a következőképpen fog
kinézni:
`(u^2-v^2)^3+(v(3u^2+v^2))^2=(u(u^2+3v^2))^2`.
megoldásáról a paraméteres ciklikus mátrixok módszerével.
Ciklikus vagy cirkuláns mátrix az olyan négyzetes mátrix,
amelynek elemei soronként (és oszloponként) ciklikusan
ismétlődnek, azaz bármelyik sor a közvetlenül fölötte álló
sorból úgy kapható, hogy annak mindegyik eleme helyébe az
illető elem bal oldali szomszédját írjuk. Az első elem helyébe -
amelynek nincs bal oldali szomszédja - a sor utolsó eleme
kerül.A ciklikus mátrixok két jó tulajdonsága: a mátrixszorzásra
nézve kommutatívak és két azonos típusú ciklikus mátrix
szorzása szintén ciklikus mátrixot eredményez. (Bizonyítható
teljes indukcióval is? ) Bizonyos diofantoszi egyenletek
megoldásánál kihasználható, hogy a paraméteres ciklikus
mátrix determinánsában viszonylag számottevő hatványösszeg
figyelhető meg. Ezt a jelenséget észlelhetjük a következő a
Pitagoraszi számhármasok megoldásának hátteréről írt
megjegyzésemben.
Legyen `A:=[[u,v],[v,u]]` egy kétparaméteres 2x2-es típusú
mátrix. Ekkor
`A^2= [[u^2+v^2,2uv],[2uv,u^2+v^2]]` és
`det(A^2)=det(A)^2`. A 2x2-es determináns kifejtése alapján
`det(A^2)=(u^2+v^2)^2-(2uv)^2 `
és így
` det(A^2)=u^4-2u^2v^2+v^4 `valamint
`det(A)^2=(u^2-v^2)^2`
és így
`(u^2-v^2)^2=(u^2+v^2)^2-(2uv)^2 `
ami alapján az `a^2+b^2=c^2` alakú pitagoraszi egyenlet
megoldható. Tehát
`(u^2-v^2)^2+(2uv)^2=(u^2+v^2)^2`.
A kapott megoldóképletet csak bevezetik a diákoknak, de
sohasem próbálják levezetni. Én legalább is egyetlen
tankönyvben vagy jegyzetben sem találkoztam ezzel a
megközelítéssel. A ciklikus mátrixok természetesen
felhasználhatók a viszonylag alacsony fokszámú
`a^m+b^m=c^n ` alakú diofantoszi egyenleteknél is,
ahol ` m != n ` feltételnek is teljesülnie kell.
Próbáljunk megoldó képletet keresni a `a^3=c^2-b^2`
diofantoszi egyenletre a paraméteres ciklikus mátrixok
módszerével. Legyen tehát A, mint fentebb. Ekkor
`A^3=[[ u(u^2+3v^2) ,v(3u^2+v^2)],[ v(3u^2+v^2),u(u^2+3v^2)]]`
és teljesülni fog a `det(A^3)=det(A)^3 `
azonosság is. Különben ez utóbbi összefüggés minden
mátrixra is teljesül. Az aktuális determináns kifejtése alapján
`det(A^3)=(u(u^2+3v^2))^2-(v(3u^2+v^2))^2 `
és így
`det(A^3)=u^6 - 3u^4v^2 + 3u^2v^4 - v^6 `
valamint
`det(A)^3=(u^2-v^2)^3 `
és így
`(u^2-v^2)^3=(u(u^2+3v^2))^2-(v(3u^2+v^2))^2`
ami alapján az `a^3+b^2=c^2` alakú diofantoszi egyenlet
megoldható. Tehát a megoldóképlet a következőképpen fog
kinézni:
`(u^2-v^2)^3+(v(3u^2+v^2))^2=(u(u^2+3v^2))^2`.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
ciklikus_mátrixok, diofantoszi_egyenletek
ciklikus_mátrixok, diofantoszi_egyenletek
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
2
gyula205
válasza
Megjegyzések az alacsony fokszámú diofantoszi egyenletek
megoldásáról a paraméteres ciklikus mátrixok módszerével.
(A megjegyzés folytatása)
Keressünk megoldóképletet az előbbi egyenlet párjára az
`a^2+b^2=c^3` alakú diofantoszi egyenletre.
Legyen `A:=[[u,vi],[vi,u]]`, ahol `i=sqrt(-1)` az imaginárius
egység. Ekkor
`A^3=[[ u(u^2-3v^2) ,v(3u^2-v^2)i],[ v(3u^2-v^2)i,u(u^2-3v^2)]]`.
Az aktuális determináns kifejtése alapján
`det(A^3)=(u(u^2-3v^2))^2+(v(3u^2-v^2))^2`
és így
`det(A^3)=u^6 + 3u^4v^2 + 3u^2v^4 + v^6 `
és
`det(A)^3=(u^2+v^2)^3`
és így
`(u^2+v^2)^3=(u(u^2-3v^2))^2+(v(3u^2-v^2))^2 `.
ami alapján az `a^2+b^2=c^3` alakú diofantoszi egyenlet
egyik megoldóképletéhez jutunk.
Gyakorlatilag elmondható, hogy a `det(A)^n=det(A^n)`
azonosság alapján a paraméteres ciklikus mátrixok módszere
működik minden `x^n=det(A^n)` alakú diofantoszi egyenlet
esetén, ahol n-ről feltételezzük, hogy nem túl nagy egész
szám. Mondjuk `n<10`. A nagy fokszám a kezelhetőség
rovására mehet. Az egyenlet jobb oldala a paraméteres ciklikus
mátrix tujdonságaitól függ. Természetesen a paraméteres
ciklikus mátrixok módszere nem működik minden esetben,
például ott ahol nincs megoldás. Például a nagy Fermat-
tételhez kapcsolódó probléma az `a^n+b^n=c^n ` diofantoszi
egyenlet esetén, ahol n>2 tetszőleges természetes szám.
Bizonyítsuk be, hogy a a következő diofantoszi problémákhoz
levezethetők a megoldóképletek.
1. feladat: `a^2+b^2=c^5`
2. feladat: `a^3+b^3+c^3-3abc=d^3`
3. feladat: `a^3+b^3=c^4`
megoldásáról a paraméteres ciklikus mátrixok módszerével.
(A megjegyzés folytatása)
Keressünk megoldóképletet az előbbi egyenlet párjára az
`a^2+b^2=c^3` alakú diofantoszi egyenletre.
Legyen `A:=[[u,vi],[vi,u]]`, ahol `i=sqrt(-1)` az imaginárius
egység. Ekkor
`A^3=[[ u(u^2-3v^2) ,v(3u^2-v^2)i],[ v(3u^2-v^2)i,u(u^2-3v^2)]]`.
Az aktuális determináns kifejtése alapján
`det(A^3)=(u(u^2-3v^2))^2+(v(3u^2-v^2))^2`
és így
`det(A^3)=u^6 + 3u^4v^2 + 3u^2v^4 + v^6 `
és
`det(A)^3=(u^2+v^2)^3`
és így
`(u^2+v^2)^3=(u(u^2-3v^2))^2+(v(3u^2-v^2))^2 `.
ami alapján az `a^2+b^2=c^3` alakú diofantoszi egyenlet
egyik megoldóképletéhez jutunk.
Gyakorlatilag elmondható, hogy a `det(A)^n=det(A^n)`
azonosság alapján a paraméteres ciklikus mátrixok módszere
működik minden `x^n=det(A^n)` alakú diofantoszi egyenlet
esetén, ahol n-ről feltételezzük, hogy nem túl nagy egész
szám. Mondjuk `n<10`. A nagy fokszám a kezelhetőség
rovására mehet. Az egyenlet jobb oldala a paraméteres ciklikus
mátrix tujdonságaitól függ. Természetesen a paraméteres
ciklikus mátrixok módszere nem működik minden esetben,
például ott ahol nincs megoldás. Például a nagy Fermat-
tételhez kapcsolódó probléma az `a^n+b^n=c^n ` diofantoszi
egyenlet esetén, ahol n>2 tetszőleges természetes szám.
Bizonyítsuk be, hogy a a következő diofantoszi problémákhoz
levezethetők a megoldóképletek.
1. feladat: `a^2+b^2=c^5`
2. feladat: `a^3+b^3+c^3-3abc=d^3`
3. feladat: `a^3+b^3=c^4`
Módosítva: 4 éve
0
- Még nem érkezett komment!
bongolo
{ 
}
megoldása
Jópofa...
Az első még könnyen megy:
`A=[(u,v·i),(v·i,u)]`
`A^5=[(u^5-10v^2u^3+5v^4u, i(v^5-10u^2v^3+5u^4v)),(i(v^5-10u^2v^3+5u^4v),u^5-10v^2u^3+5v^4u)]`
`det(A^5)=(u^5-10v^2u^3+5v^4u)^2+(v^5-10u^2v^3+5u^4v)^2=(u^2+v^2)^5`
Az első még könnyen megy:
`A=[(u,v·i),(v·i,u)]`
`A^5=[(u^5-10v^2u^3+5v^4u, i(v^5-10u^2v^3+5u^4v)),(i(v^5-10u^2v^3+5u^4v),u^5-10v^2u^3+5v^4u)]`
`det(A^5)=(u^5-10v^2u^3+5v^4u)^2+(v^5-10u^2v^3+5u^4v)^2=(u^2+v^2)^5`
0
- Még nem érkezett komment!