1)
Összes esetek száma: ahány 3-jegyű természetes szám van: 900 (100 az első, 999 az utolsó)

Kedvező esetek száma:
(Itt a nulla megbonyolítja a számolást: külön kell kezelni, mert nem állhat az első helyen.)

Az egy szem egyedülálló szám 3 helyen lehet:

a) első van egyedül, második és harmadik egyforma:
Első helyen állhat 9-féle, a második-harmadikon 9-féle (mert ott már lehet 0 is, de nem lehet az, ami az elsőn van). Ez 9·9

b) középen van a szingli szám:
Középen lehet 10-féle (a 0 is), körben pedig nem lehet se a 0, se az, ami középen van:
- Ha a középső 0, akkor körben 9-féle lehet.
- Ha a középső nem 0 (hanem 9-féle másik), akkor körben 8-féle lehet (mert nem lehet a 0 és az, ami középen van).
Együtt 9+9·8

c) utolsó a szingli:
Hátul lehet 10-féle, elől nem lehet se a 0, se az, ami hátul van:
Ez is 9+9·8 ugyanúgy, mint a b-nél.

Tehát az összes kedvező az 80+2·(9+72)

Valószínűség: kedvező per összes.

2)
`sin\ α = sin\ β` kétféleképpen lehet:
a) `α=β` plusz még hozzájön a `2kπ` periódus
b) `α=π-β` plusz még hozzájön a `2kπ` periódus

Most, amikor `α=x` és `β=3x`, ez így alakul:

a)
`x=3x+2kπ`
`-2x=2kπ`
`x=-kπ`
Mivel `k` tetszőleges egész szám lehet, abban benne vannak a pozitív és negatív egészek is, tehát nem érdekes a mínusz jel:
`x_1=kπ`

b)
`x=π-3x+2kπ`
`4x=π+2kπ`
`x_2=π/4+k π/2`

3)
Mondjuk az egyik ilyen függvény az, ami ezeket a hozzárendeléseket adja:
1 → 2, 2 → 3, 3 → 4, 4 → 2
A lényeg, hogy az 1 meg a 4 ugyanoda "nyilazódjon" (az előbb a 2-be). A többi bárhová mehet, persze csak az {1,2,3,4} halmazból bárhova.

Először válasszuk ki, melyik ugyanazt a számot rendeljük az 1-hez meg a 4-hez: ez 4-féle lehet, hisz {1,2,3,4} bármelyike jó.
Aztán a 2-höz szintén 4-félét rendelhetünk,
és a 3-hoz is 4-félét.

Vagyis 4·4·4 a lehetséges függvények száma.