Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Harmónikus rezgőmozgás2

22
A 200 N/m rugóállandójú rugóhoz erősített 1,5kg tömegű test 5cm-es ampiltúdójú harmonikus rezgőmozgást végez. Mekkora sebességgel mozog, amikor a kitérés értéke -4cm?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Fizika

Válaszok

1
A rugóerő `-kx`, ez a testre ható eredőerő, vagyis a mozgásegyenlet `m a = -kx`. A gyorsulás a kitérés második deriváltja, vagyis a mozgást leíró differenciálegyenlet az alábbi:

`m ddot{x} = -kx`

Ennek a megoldása az `x(t)=A sin(omega t + varphi)` függvény, ahol a körfrekvencia `omega = sqrt(k/m)`, az `A` amplitúdó és a `varphi` kezdőfázis pedig a kezdeti feltételekből jön. Most tudjuk, hogy `A=5\text{cm}`, a fázis pedig nem érdekes.

A sebesség a kitérés deriváltja: `v(t)= dot{x}(t) = A omega cos(omega t + varphi)`.

Most az a kérdés, hogy mennyi `v(t)` értéke, amikor `x(t)=-4 \text{cm}`:

`5 sin(omega t + varphi) = -4`

Tehát a feltételnek megfelelő időpontokban `sin(omega t + varphi)=-4/5`. A sebesség kifejezésében ugyanennek a pillanatyi fázisnak a koszinusza szerepel, vagyis az a kérdés, hogy ha a szinusz -4/5, akkor mennyi a koszinusz (abszolút értéke). Ezt a `sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1` azonosság alapján határozhatjuk meg:

`|cos(omega t + varphi)| = sqrt(1-sin^2(omega t + varphi))=sqrt(1-(4/5)^2)=3/5`

Ezek alapján a sebesség tehát:

`|v|=3/5 A omega=3/5 A sqrt(k/m)=3/5*0.05*sqrt(200/1.5)~~0.346\text{m}/\text{s}`

Az abszolút érték fontos, a sebességnek csak a nagyságát tudjuk megmondani, az irányát nem. Ennek az az oka, hogy egy adott kitérés mellett "odafelé" és "visszafelé" is lendülhet éppen a test.
0