Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Háromszög geometria bizonyítás
gyula205
kérdése
595
Bizonyítsuk be, hogy az ABC`triangle`-ben `alpha=2beta` akkor és csak
akkor teljesül, ha `a^2=b^2+bc`.
akkor teljesül, ha `a^2=b^2+bc`.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
háromszögek
háromszögek
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
3
dap
válasza
A feladat egy elemi bizonyítása adódik a szögfelező megrajzolása, majd némi vizsgálódás után.
Módosítva: 6 éve
0
-
bongolo: gyula205 számára megjegyzés: "akkor és csak akkor"-ról van szó, tehát a fordított bizonyítás is kérdés, szóval majd visszafelé is meg kell csináld! 6 éve 0
dap
megoldása
Szerk.: A sin-t. felírásától kezdve véletlenül c-b helyett annak ellentettjét írtam. Elnézést a kellemetlenségért.
Ez egy másik (véleményem szerint kevésbé elegáns) megoldásom a feladatra.
Tanulságos benne, hogy a kifejezés alakjáról mire asszociálunk (cos-t.), illetve hogy egy alkalmas szakasz megkeresésével és behúzásával mennyit nyerhetünk.
Az első megoldásom tanulsága, hogy néha érdemes hagyni, hogy a feltételek irányítsanak.
Ez egy másik (véleményem szerint kevésbé elegáns) megoldásom a feladatra.
Tanulságos benne, hogy a kifejezés alakjáról mire asszociálunk (cos-t.), illetve hogy egy alkalmas szakasz megkeresésével és behúzásával mennyit nyerhetünk.
Az első megoldásom tanulsága, hogy néha érdemes hagyni, hogy a feltételek irányítsanak.
Módosítva: 6 éve
0
- Még nem érkezett komment!
bongolo
{ 
}
válasza
dap első bizonyítása nagyon szép (a megfordítása se nehéz).
Egy harmadik bizonyítás, ami már cseppet sem geometriai fajta, hanem szögfüggvényes (tehát nem ilyet kért a feladat, de nem baj) :
Kell először egy érdekes segédtétel: `sin(x+y)·sin(x-y)=sin^2x-sin^2y`
Nem túl nehéz belátni, csak a szög-összegek szinuszának a képletét kell használni. Nem írom le, csináld meg, gyula205.
Most már jöhet a bizonyítás. Felülről lefelé és alulról felfelé is lehet olvasni, azok felelnek meg az "akkor és csak akkor"-nak.
`a^2-b^2=bc`
A szinusztétel szerint az oldalak aránya megegyezik a szemközti szögek szinuszainak arányával, tehát `a=D·sinα, b=D·sinβ, c=D·sinγ` ahol `D` alkalmas konstans (egyébként a háromszög köré írt kör átmérője). Ezért az oldalhosszak helyett írhatjuk a szögek szinuszát (és fordítva, ha alulról olvasod) :
`sin^2α-sin^2β=sinβ·sinγ`
Minden háromszögben `γ=180°-(α+β)` ezért `sinγ=sin(α+β)`
`sin^2α-sin^2β=sinβ·sin(α+β)`
Az először írt segédtételt felhasználva:
`sin(α+β)·sin(α-β)=sinβ·sin(α+β)`
`sin(α-β)=sinβ`
`α-β=β`
`α=2β`
Egy harmadik bizonyítás, ami már cseppet sem geometriai fajta, hanem szögfüggvényes (tehát nem ilyet kért a feladat, de nem baj) :
Kell először egy érdekes segédtétel: `sin(x+y)·sin(x-y)=sin^2x-sin^2y`
Nem túl nehéz belátni, csak a szög-összegek szinuszának a képletét kell használni. Nem írom le, csináld meg, gyula205.
Most már jöhet a bizonyítás. Felülről lefelé és alulról felfelé is lehet olvasni, azok felelnek meg az "akkor és csak akkor"-nak.
`a^2-b^2=bc`
A szinusztétel szerint az oldalak aránya megegyezik a szemközti szögek szinuszainak arányával, tehát `a=D·sinα, b=D·sinβ, c=D·sinγ` ahol `D` alkalmas konstans (egyébként a háromszög köré írt kör átmérője). Ezért az oldalhosszak helyett írhatjuk a szögek szinuszát (és fordítva, ha alulról olvasod) :
`sin^2α-sin^2β=sinβ·sinγ`
Minden háromszögben `γ=180°-(α+β)` ezért `sinγ=sin(α+β)`
`sin^2α-sin^2β=sinβ·sin(α+β)`
Az először írt segédtételt felhasználva:
`sin(α+β)·sin(α-β)=sinβ·sin(α+β)`
`sin(α-β)=sinβ`
`α-β=β`
`α=2β`
1
- Még nem érkezett komment!