Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Háromszög geometria bizonyítás

100
Bizonyítsuk be, hogy az ABC`triangle`-ben `alpha=2beta` akkor és csak
akkor teljesül, ha `a^2=b^2+bc`.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
háromszögek
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

3
A feladat egy elemi bizonyítása adódik a szögfelező megrajzolása, majd némi vizsgálódás után.
Módosítva: 2 hónapja
0

Szerk.: A sin-t. felírásától kezdve véletlenül c-b helyett annak ellentettjét írtam. Elnézést a kellemetlenségért.

Ez egy másik (véleményem szerint kevésbé elegáns) megoldásom a feladatra.

Tanulságos benne, hogy a kifejezés alakjáról mire asszociálunk (cos-t.), illetve hogy egy alkalmas szakasz megkeresésével és behúzásával mennyit nyerhetünk.

Az első megoldásom tanulsága, hogy néha érdemes hagyni, hogy a feltételek irányítsanak.
Módosítva: 2 hónapja
0

dap első bizonyítása nagyon szép (a megfordítása se nehéz).

Egy harmadik bizonyítás, ami már cseppet sem geometriai fajta, hanem szögfüggvényes (tehát nem ilyet kért a feladat, de nem baj) :

Kell először egy érdekes segédtétel: `sin(x+y)·sin(x-y)=sin^2x-sin^2y`
Nem túl nehéz belátni, csak a szög-összegek szinuszának a képletét kell használni. Nem írom le, csináld meg, gyula205.

Most már jöhet a bizonyítás. Felülről lefelé és alulról felfelé is lehet olvasni, azok felelnek meg az "akkor és csak akkor"-nak.

`a^2-b^2=bc`

A szinusztétel szerint az oldalak aránya megegyezik a szemközti szögek szinuszainak arányával, tehát `a=D·sinα, b=D·sinβ, c=D·sinγ` ahol `D` alkalmas konstans (egyébként a háromszög köré írt kör átmérője). Ezért az oldalhosszak helyett írhatjuk a szögek szinuszát (és fordítva, ha alulról olvasod) :

`sin^2α-sin^2β=sinβ·sinγ`
Minden háromszögben `γ=180°-(α+β)` ezért `sinγ=sin(α+β)`
`sin^2α-sin^2β=sinβ·sin(α+β)`
Az először írt segédtételt felhasználva:
`sin(α+β)·sin(α-β)=sinβ·sin(α+β)`
`sin(α-β)=sinβ`
`α-β=β`
`α=2β`
1