Szerintem pedig ez egy tök jó jegyzet. A lényeg az 5. képen van: ahhoz, hogy egy operátor mátrixát meghatározd egy adott bázisban, csak alkalmazni kell az operátort a bázisvektorokra, és az eredményeket be kell írni egy mátrixba. Az 5-6. képen szereplő példa didaktikailag nem túl előnyös, a nulloperátornak még jó hogy csupa nulla mátrixa van. Nézzünk inkább egy másik példát. Számoljuk ki annak az R2→R2 operátornak a természetes bázisbeli mátrixát, ami az első helyen a koordináták összegének kétszeresét állítja elő, második helyen pedig a koordináták különbségét, tehát így működik:

`L([[x],[y]])=[[2x+2y],[x-y]]`

A természetes bázis alatt mindig azt ortonormált bázist kell érteni, amelynek vektorai csak 1 és 0 koordinátákat tartalmaznak, jelen esetben `[[1],[0]]` és `[[0],[1]]`. Azt kell megnézni, hogy mit csinál az `L` operátor ezekkel a vektorokkal:

`L([[1],[0]])=[[2*1+2*0],[1-0]]=[[2],[1]]`

`L([[0],[1]])=[[2*0+2*1],[0-1]]=[[2],[-1]]`

Az `L` operátor mátrixát úgy kapod, hogy ezeket a vektorokat beírod egy mátrixba:

`\mathbf{L}=[[2,2],[1,-1]]`

Ezek után (ebben a bázisban) az L operátor működtetése megfelel az `\mathbf{L}` mátrixszal való szorzásnak. Például:

`L([[3],[2]])=[[2,2],[1,-1]][[3],[2]]=[[10],[1]]`


Az elmélethez ajánlom figyelmedbe ezt a kiváló BME-s jegyzetet:
http://tankonyvtar.ttk.bme.hu/pdf/14.pdf