Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Konvergencia sugár SOS
gabor199808
kérdése
449
Tudom, hogy az An/An+1 hatványkritériummal kellene megoldani, de valamiért nekem nem jön ki. Segítene valaki ? Előre is köszönöm 
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
1
AlBundy
{ Polihisztor }
megoldása
`a_n=(n+1)/(n^2+1)`
`a_(n+1)=(n+2)/((n+1)^2+1)=(n+2)/(n^2+2n+2)`
`a_n/(a_(n+1))=((n+1)(n^2+2n+2))/((n^2+1)(n+2))=(n^3+3n^2+4n+2)/(n^3+2n^2+n+2)`
A konvergenciasugár meghatározásához tehát csak egy racionális törtfüggvény határértékét kell kiszámítani:
`rho = lim_(n -> oo) a_n/(a_(n+1))``=``lim_(n -> oo) (n^3+3n^2+4n+2)/(n^3+2n^2+n+2)``=``lim_(n -> oo) (1+3/n+4/n^2+2/n^3)/(1+2/n+1/n^2+2/n^3)``=``(1+0+0+0)/(1+0+0+0)=1`
Tehát a konvergenciasugár 1. Ez ugyebár csak annyit jelent, hogy a hatványsor biztosan konvergens a konvergenciakörének belsejében, azaz az `|x| lt 1` intervallumon. Bár a feladat nem kérte, de ha a teljes konvergenciatartományt meg szeretnéd határozni, akkor az `x=pm 1` határpontokat még külön meg kell vizsgálni.
`a_(n+1)=(n+2)/((n+1)^2+1)=(n+2)/(n^2+2n+2)`
`a_n/(a_(n+1))=((n+1)(n^2+2n+2))/((n^2+1)(n+2))=(n^3+3n^2+4n+2)/(n^3+2n^2+n+2)`
A konvergenciasugár meghatározásához tehát csak egy racionális törtfüggvény határértékét kell kiszámítani:
`rho = lim_(n -> oo) a_n/(a_(n+1))``=``lim_(n -> oo) (n^3+3n^2+4n+2)/(n^3+2n^2+n+2)``=``lim_(n -> oo) (1+3/n+4/n^2+2/n^3)/(1+2/n+1/n^2+2/n^3)``=``(1+0+0+0)/(1+0+0+0)=1`
Tehát a konvergenciasugár 1. Ez ugyebár csak annyit jelent, hogy a hatványsor biztosan konvergens a konvergenciakörének belsejében, azaz az `|x| lt 1` intervallumon. Bár a feladat nem kérte, de ha a teljes konvergenciatartományt meg szeretnéd határozni, akkor az `x=pm 1` határpontokat még külön meg kell vizsgálni.
0
- Még nem érkezett komment!