Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Döntsük el, hogy az alábbi leképezések lineárisak-e, és ha igen, akkor adjuk meg a leképezés természetes bázisra vonatkozó mátrixát!

50
(a) ϕ : R**2→ R**2, ahol ϕ(x1, x2) = (x1 + x2, x1 − x2),
(b) ϕ : R**2→ R**2, ahol ϕ(x1, x2) = (x2, x1),
(c) ϕ : R**2→ R**2, ahol ϕ(x1, x2) = (x1 + x2, x2 − 3),
(d) ϕ : R**3→ R**2, ahol ϕ(x1, x2, x3) = (x1 + 2x2, 2x2 + 3x3),
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Matematika

Válaszok

1
A `Phi` leképezés linearitásához két dolognak kell teljesülnie.
Az egyik az additivitás: `Phi(\mathbf{x}+\mathbf{y})=Phi(\mathbf{x})+Phi(\mathbf{y})`
A másik a homogenitás: `Phi(c\mathbf{x})=c Phi(\mathbf{x})`

Nézzük az a) feladatot:
`Phi(\mathbf{x})``=``Phi([[x_1,, x_2]])``=``[[x_1+x_2,, x_1-x_2]]`

Nézzük meg, mit csinál ez az operátor két vektor összegével:
`Phi(\mathbf{x}+\mathbf{y})``=``Phi([[x_1+y_1,, x_2+y_2]])``=``[[x_1+y_1+x_2+y_2,, x_1+y_1-x_2-y_2]]`

És ha az összeadást a `Phi` leképezés után végezzük el:
`Phi(\mathbf{x})+Phi(\mathbf{y})``=``Phi([[x_1,, x_2]])+Phi([[y_1,, y_2]])``=``[[x_1+x_2,, x_1-x_2]]+[[y_1+y_2,, y_1-y_2]]``=``[[x_1+x_2+y_1+y_2,, x_1-x_2+y_1-y_2]]`

A kettő egyenlő, tehát az additivitás teljesül. Most nézzük a homogenitást:
`Phi(c\mathbf{x})``=``Phi([[cx_1,, cx_2]])``=``[[cx_1+cx_2,, cx_1-cx_2]]``=``c[[x_1+x_2,, x_1-x_2]]``=``cPhi(\mathbf{x})`

Tehát a homogenitás is teljesül, vagyis ez az operátor lineáris.

A mátrixot úgy lehet megadni, hogy sorra megnézed, mit csinál az operátor a bázisvektorokkal.
`Phi([[1,, 0]])=[[1,, 1]]`
`Phi([[0,, 1]])=[[1,, -1]]`

A mátrixot úgy kapod meg, hogy az eredményvektorokat MINT OSZLOPVEKTOROKAT beírod egy mátrixba:
`\mathbf{Phi}=[[1,1],[1,-1]]`



A b) feladatbeli leképezés szintén lineáris, ugyanígy tudod belátni. Mátrixa `\mathbf{Phi}=[[0,1],[1,0]]`.



A c) feladatbeli leképezés nem lineáris, mert nem homogén:
`Phi(c\mathbf{x})``=``Phi([[cx_1,, cx_2]])``=``[[cx_1+cx_2,, cx_2-3]]`
`cPhi(\mathbf{x})=c [[x_1+x_2,, x_2-3]]=[[cx_1+cx_2,, cx_2-3c]]`



A d) feladatbeli leképezés lineáris. Az additivitás rendben van:
`Phi(\mathbf{x}+\mathbf{y})``=``Phi([[x_1+y_1,, x_2+y_2,, x_3+y_3]])``=``[[x_1+y_1+2x_2+2y_2,, 2x_2+2y_2+3x_3+3y_3]]`
`Phi(\mathbf{x})+Phi(\mathbf{y})``=``[[x_1+2x_2,, 2x_2+3x_3]]+[[y_1+2y_2,, 2y_2+3y_3]]``=``[[x_1+y_1+2x_2+2y_2,, 2x_2+2y_2+3x_3+3y_3]]`

A homogenitás is:
`Phi(c\mathbf{x})``=``Phi([[cx_1,, cx_2,, cx_3]])``=``[[cx_1+2cx_2,, 2cx_2+3cx_3]]``=``c[[x_1+2x_2,, 2x_2+3x_3]]``=``cPhi(\mathbf{x})`

Nézzük meg, hova viszi a bázisvektorokat:
`Phi([[1,, 0,, 0]])=[[1,, 0]]`
`Phi([[0,, 1,, 0]])=[[2,, 2]]`
`Phi([[0,, 0,, 1]])=[[0,, 3]]`

Tehát a mátrixa `\mathbf{Phi}=[[1,2,0],[0,2,3]]`.
Módosítva: 4 hete
1