Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Döntsük el, hogy az alábbi leképezések lineárisak-e, és ha igen, akkor adjuk meg a leképezés természetes bázisra vonatkozó mátrixát!
zsomle14
{ Kérdező } kérdése
356
(a) ϕ : R**2→ R**2, ahol ϕ(x1, x2) = (x1 + x2, x1 − x2),
(b) ϕ : R**2→ R**2, ahol ϕ(x1, x2) = (x2, x1),
(c) ϕ : R**2→ R**2, ahol ϕ(x1, x2) = (x1 + x2, x2 − 3),
(d) ϕ : R**3→ R**2, ahol ϕ(x1, x2, x3) = (x1 + 2x2, 2x2 + 3x3),
(b) ϕ : R**2→ R**2, ahol ϕ(x1, x2) = (x2, x1),
(c) ϕ : R**2→ R**2, ahol ϕ(x1, x2) = (x1 + x2, x2 − 3),
(d) ϕ : R**3→ R**2, ahol ϕ(x1, x2, x3) = (x1 + 2x2, 2x2 + 3x3),
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
1
AlBundy
{ Polihisztor }
megoldása
A `Phi` leképezés linearitásához két dolognak kell teljesülnie.
Az egyik az additivitás: `Phi(\mathbf{x}+\mathbf{y})=Phi(\mathbf{x})+Phi(\mathbf{y})`
A másik a homogenitás: `Phi(c\mathbf{x})=c Phi(\mathbf{x})`
Nézzük az a) feladatot:
`Phi(\mathbf{x})``=``Phi([[x_1,, x_2]])``=``[[x_1+x_2,, x_1-x_2]]`
Nézzük meg, mit csinál ez az operátor két vektor összegével:
`Phi(\mathbf{x}+\mathbf{y})``=``Phi([[x_1+y_1,, x_2+y_2]])``=``[[x_1+y_1+x_2+y_2,, x_1+y_1-x_2-y_2]]`
És ha az összeadást a `Phi` leképezés után végezzük el:
`Phi(\mathbf{x})+Phi(\mathbf{y})``=``Phi([[x_1,, x_2]])+Phi([[y_1,, y_2]])``=``[[x_1+x_2,, x_1-x_2]]+[[y_1+y_2,, y_1-y_2]]``=``[[x_1+x_2+y_1+y_2,, x_1-x_2+y_1-y_2]]`
A kettő egyenlő, tehát az additivitás teljesül. Most nézzük a homogenitást:
`Phi(c\mathbf{x})``=``Phi([[cx_1,, cx_2]])``=``[[cx_1+cx_2,, cx_1-cx_2]]``=``c[[x_1+x_2,, x_1-x_2]]``=``cPhi(\mathbf{x})`
Tehát a homogenitás is teljesül, vagyis ez az operátor lineáris.
A mátrixot úgy lehet megadni, hogy sorra megnézed, mit csinál az operátor a bázisvektorokkal.
`Phi([[1,, 0]])=[[1,, 1]]`
`Phi([[0,, 1]])=[[1,, -1]]`
A mátrixot úgy kapod meg, hogy az eredményvektorokat MINT OSZLOPVEKTOROKAT beírod egy mátrixba:
`\mathbf{Phi}=[[1,1],[1,-1]]`
A b) feladatbeli leképezés szintén lineáris, ugyanígy tudod belátni. Mátrixa `\mathbf{Phi}=[[0,1],[1,0]]`.
A c) feladatbeli leképezés nem lineáris, mert nem homogén:
`Phi(c\mathbf{x})``=``Phi([[cx_1,, cx_2]])``=``[[cx_1+cx_2,, cx_2-3]]`
`cPhi(\mathbf{x})=c [[x_1+x_2,, x_2-3]]=[[cx_1+cx_2,, cx_2-3c]]`
A d) feladatbeli leképezés lineáris. Az additivitás rendben van:
`Phi(\mathbf{x}+\mathbf{y})``=``Phi([[x_1+y_1,, x_2+y_2,, x_3+y_3]])``=``[[x_1+y_1+2x_2+2y_2,, 2x_2+2y_2+3x_3+3y_3]]`
`Phi(\mathbf{x})+Phi(\mathbf{y})``=``[[x_1+2x_2,, 2x_2+3x_3]]+[[y_1+2y_2,, 2y_2+3y_3]]``=``[[x_1+y_1+2x_2+2y_2,, 2x_2+2y_2+3x_3+3y_3]]`
A homogenitás is:
`Phi(c\mathbf{x})``=``Phi([[cx_1,, cx_2,, cx_3]])``=``[[cx_1+2cx_2,, 2cx_2+3cx_3]]``=``c[[x_1+2x_2,, 2x_2+3x_3]]``=``cPhi(\mathbf{x})`
Nézzük meg, hova viszi a bázisvektorokat:
`Phi([[1,, 0,, 0]])=[[1,, 0]]`
`Phi([[0,, 1,, 0]])=[[2,, 2]]`
`Phi([[0,, 0,, 1]])=[[0,, 3]]`
Tehát a mátrixa `\mathbf{Phi}=[[1,2,0],[0,2,3]]`.
Az egyik az additivitás: `Phi(\mathbf{x}+\mathbf{y})=Phi(\mathbf{x})+Phi(\mathbf{y})`
A másik a homogenitás: `Phi(c\mathbf{x})=c Phi(\mathbf{x})`
Nézzük az a) feladatot:
`Phi(\mathbf{x})``=``Phi([[x_1,, x_2]])``=``[[x_1+x_2,, x_1-x_2]]`
Nézzük meg, mit csinál ez az operátor két vektor összegével:
`Phi(\mathbf{x}+\mathbf{y})``=``Phi([[x_1+y_1,, x_2+y_2]])``=``[[x_1+y_1+x_2+y_2,, x_1+y_1-x_2-y_2]]`
És ha az összeadást a `Phi` leképezés után végezzük el:
`Phi(\mathbf{x})+Phi(\mathbf{y})``=``Phi([[x_1,, x_2]])+Phi([[y_1,, y_2]])``=``[[x_1+x_2,, x_1-x_2]]+[[y_1+y_2,, y_1-y_2]]``=``[[x_1+x_2+y_1+y_2,, x_1-x_2+y_1-y_2]]`
A kettő egyenlő, tehát az additivitás teljesül. Most nézzük a homogenitást:
`Phi(c\mathbf{x})``=``Phi([[cx_1,, cx_2]])``=``[[cx_1+cx_2,, cx_1-cx_2]]``=``c[[x_1+x_2,, x_1-x_2]]``=``cPhi(\mathbf{x})`
Tehát a homogenitás is teljesül, vagyis ez az operátor lineáris.
A mátrixot úgy lehet megadni, hogy sorra megnézed, mit csinál az operátor a bázisvektorokkal.
`Phi([[1,, 0]])=[[1,, 1]]`
`Phi([[0,, 1]])=[[1,, -1]]`
A mátrixot úgy kapod meg, hogy az eredményvektorokat MINT OSZLOPVEKTOROKAT beírod egy mátrixba:
`\mathbf{Phi}=[[1,1],[1,-1]]`
A b) feladatbeli leképezés szintén lineáris, ugyanígy tudod belátni. Mátrixa `\mathbf{Phi}=[[0,1],[1,0]]`.
A c) feladatbeli leképezés nem lineáris, mert nem homogén:
`Phi(c\mathbf{x})``=``Phi([[cx_1,, cx_2]])``=``[[cx_1+cx_2,, cx_2-3]]`
`cPhi(\mathbf{x})=c [[x_1+x_2,, x_2-3]]=[[cx_1+cx_2,, cx_2-3c]]`
A d) feladatbeli leképezés lineáris. Az additivitás rendben van:
`Phi(\mathbf{x}+\mathbf{y})``=``Phi([[x_1+y_1,, x_2+y_2,, x_3+y_3]])``=``[[x_1+y_1+2x_2+2y_2,, 2x_2+2y_2+3x_3+3y_3]]`
`Phi(\mathbf{x})+Phi(\mathbf{y})``=``[[x_1+2x_2,, 2x_2+3x_3]]+[[y_1+2y_2,, 2y_2+3y_3]]``=``[[x_1+y_1+2x_2+2y_2,, 2x_2+2y_2+3x_3+3y_3]]`
A homogenitás is:
`Phi(c\mathbf{x})``=``Phi([[cx_1,, cx_2,, cx_3]])``=``[[cx_1+2cx_2,, 2cx_2+3cx_3]]``=``c[[x_1+2x_2,, 2x_2+3x_3]]``=``cPhi(\mathbf{x})`
Nézzük meg, hova viszi a bázisvektorokat:
`Phi([[1,, 0,, 0]])=[[1,, 0]]`
`Phi([[0,, 1,, 0]])=[[2,, 2]]`
`Phi([[0,, 0,, 1]])=[[0,, 3]]`
Tehát a mátrixa `\mathbf{Phi}=[[1,2,0],[0,2,3]]`.
Módosítva: 4 éve
1
- Még nem érkezett komment!