Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Diszkrét valószínűségi változók 3

59
50 termékből, melyek között 5 selejtes található, találomra kiválasztunk ötöt.
(a) Mennyi a valószínűsége, hogy ezek között 2 selejtest találunk, ha a mintavétel visszatevéssel
történik?
(b) Megváltozik-e az előbbi valószínűség, ha 100 termékből történik a mintavétel, változatlan
selejtarány mellett?
(c) Oldjuk meg a feladatot visszatevés nélküli mintavétel esetén is!
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Matematika

Válaszok

1
Ha visszatesszük, akkor minden alkalommal `p=5/50` a selejt húzásának a valószínűsége.

a) Az ilyen visszatevéses mintavételkor a selejtek számát binomiális eloszlásnak hívják. Ha `N` termékből `M` selejt van, akkor a selejt valószínűsége `p=M/N`. Ha `n` darabot húzunk visszatevéssel, akkor annak a valószínűsége, hogy összesen `k` darab selejt lesz, az binomiális eloszlással számolható:
`P(X=k)=((n),(k))·p^k·(1-p)^(n-k)`
Mindjárt megmagyarázom, hogyan jön ki ez a képlet.

Most:
`P(X=2)=((5),(2))·p^2·(1-p)^(3)`
... ugyanis kell húzni 2 darab selejtet, mindkettőt `p` valószínűséggel, valamint 3 darab jót, mindet `1-p` valószínűséggel. Az pedig, hogy az 5 húzásból melyik kettő lesz selejt, az `((5),(2))`-féleképpen történhet.

b) Akkor a selejt valószínűsége `p=10/100`, ugyanannyi, mint az előbb. 2 selejt valószínűsége most is ugyanaz a binomiális eloszlás és ugyanaz a valószínűség, hisz `n, k` és `p` is ugyanannyi.

c) Ha nem tesszük vissza:
Ezt hipergeometrikus eloszlásnak hívják. Ott ha van `N` termék, közte `M` selejtes, akkor annak a valószínűsége, hogy `n` húzásból visszatevés nélkül `k` darab lesz selejt :
`P(X=k)=( ((M),(k))((N-M),(n-k)) )/( ((N),(n)))`

Most 50-ből 5 selejt:
`P(X=2)=( ((5),(2))((45),(3)) )/( ((50),(5)) )`
Ezt is megmagyarázom:
- Összes eset: `((50),(5))`
- Kedvező esetek száma:
Húzunk kettőt az 5 selejtből, ez `((5),(2))`, valamint húzúnk 3-at a 45 jóból, ez `((45),(3))`. Bármelyik bármelyikkel lehet, tehát azok szorzata a kedvező.

Ha pedig 100-ból 10 a selejtes, az:
`P(Y=2)=( ((10),(2))((90),(3)) )/( ((100),(5)) )`

Az első valószínűség kb. 0,067, míg a második 0,070, nem egyforma.
1