A mátrix rangja azt jelenti, hogy hány lineárisan független sora (vagy oszlopa) van. A gyakorlatban úgy tudod meghatározni, hogy Gauss-eliminációval lépcsős alakra hozod, és a mátrix rangja a nemnulla sorok száma lesz.

Nézzük az első vektorrendszert. A három vektort be kell írni egy mátrixba. Hogy sor- vagy oszlopvektorokként írod be őket, az mindegy, hiszen a mátrix sorrangja és oszloprangja megegyezik.

`[[8,1,0],[3,0,0],[5,1,6]]`

Vonjuk ki a harmadik sort az elsőből:

`[[3,0,-6],[3,0,0],[5,1,6]]`

Vonjuk ki a második sort az elsőből:

`[[0,0,-6],[3,0,0],[5,1,6]]`

Vonjuk ki a második sor `5/3`-át a harmadikból:

`[[0,0,-6],[3,0,0],[0,1,6]]`

A sorok átrendezése után kész a lépcsős alak:

`[[3,0,0],[0,1,6],[0,0,-6]]`

Ha akarjuk, még hozzáadhatjuk a harmadik sort a másodikhoz és leoszthatunk minden sort a főelemmel, így a redukált lépcsős alakot kapjuk meg, ami most egységmátrix lesz. De nem muszáj, már most látszik, hogy nem tudunk egész sorokat eltüntetni, a vektorrendszer tehát teljes rangú (rangja 3). Ez azt jelenti, hogy `v_1`, `v_2` és `v_3` kifeszítik a háromdimenziós teret, vagyis nincs közöttük olyan, ami kifejezhető a másik kettő lineáris kombinációjaként.

A másik két vektorrendszer rangja is három, a kiszámolást rád bízom.

Nézzük az alábbi vektorrendszert:
`v_1=[[5,1,1,0,5]]`
`v_2=[[1,0,0,3,6]]`
`v_3=[[2,1,-2,-1,0]]`

Írjuk be őket egy mátrixba, mondjuk sorvektorokként:
`[[5,1,1,0,5],[1,0,0,3,6],[2,1,-2,-1,0]]`

Vonjuk ki a második sor ötszörösét az első sorból, és a második sor kétszeresét a harmadik sorból:
`[[0,1,1,-15,-25],[1,0,0,3,6],[0,1,-2,-7,-12]]`

Vonjuk ki az első sort a harmadikból:
`[[0,1,1,-15,-25],[1,0,0,3,6],[0,0,-3,8,13]]`

Az első két sor felcserélése után előállt a lépcsős alak:
`[[1,0,0,3,6],[0,1,1,-15,-25],[0,0,-3,8,13]]`

Megállhatunk itt is, de gyakorlásképpen állítsuk elő a redukált sorlépcsős alakot. Ehhez először normáljuk le az utolsó sort, hogy a főelem 1 legyen:
`[[1,0,0,3,6],[0,1,1,-15,-25],[0,0,1,-8/3,-13/3]]`

Aztán vonjuk ki a harmadik sort a másodikból, és ezzel előállt az egységmátrix az elején:
`[[1,0,0,3,6],[0,1,0,-37/3,-62/3],[0,0,1,-8/3,-13/3]]`

Készen vagyunk, nem kaptunk nulla sorokat, a mátrix (és a vektorrendszer) rangja tehát 3. Ezt egyébként online is tudod ellenőrizni:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=rref(%5B%5B5,1,1,0,5%5D,%5B1,0,0,3,6%5D,%5B2,1,-2,-1,0%5D%5D)

Meg persze közvetlenül a rangot is:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=rank(%5B%5B5,1,1,0,5%5D,%5B1,0,0,3,6%5D,%5B2,1,-2,-1,0%5D%5D)