Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Szögfelezős bizonyítás

80

Van egy abc háromszögünk, a belső szögfelezők a szemközti oldalakat a1, b1, c1 pontban metszik. Bizonyítsuk be, hogy az a1b1c1 háromszög területe nem lehet nagyobb az abc háromszög területének negyedrészénél.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

1
Több mint egy hetes késéssel, itt van a bizonyítás:

Legyen `BC_1=(ac)/(a+b), BA_1=(ac)/(c+b),` `CA_1=(ab)/(c+b), CB_1=(ab)/(a+c), AB_1=(bc)/(a+c)` illetve `AC_1=(bc)/(a+b)`. A kérdéses `t(A_1B_1C_1 triangle)` területet úgy is becsülhetem, hogy a t háromszög területéből levonom `t(C_1BA_1 triangle)+t(B_1CA_1 triangle)+t(B_1AC_1 triangle)` összeget.
`t(C_1BA_1 triangle)=(a^2c^2sin(ß))/(2(a+b)(b+c))=(act)/((a+b)(b+c))`. Hasonlóan
`t(A_1CB_1 triangle)=(abt)/((a+c)(b+c))` illetve
`t(B_1AC_1 triangle)=(cbt)/((a+b)(a+c))`.

Be kell látni, hogy `t-(t(C_1BA_1triangle)+t(B_1CA_1 triangle)+t(B_1AC_1 triangle)) le t/4`
`t-(act)/((a+b)(b+c))-(abt)/((a+c)(b+c))-(cbt)/((a+b)(a+c)) le t/4`
t-vel való egyszerűsítés és összevonás után
`(2abc)/((a+b)(a+c)(b+c)) le 1/4`.
Ez pedig a mértani és számtani közepekre vonatozó egyenlőtlenségek miatt lesz igaz.

Felhasználva és egyenként összeszorozva az `(a+b)/2 ge sqrt(ab)`,
`(a+c)/2 ge sqrt(ac)` illetve `(b+c)/2 ge sqrt(bc)` egyenlőtlenségeket kapjuk, hogy
`(abc)/((a+b)(a+c)(b+c)) le 1/8`. Ez pedig a bizonyítandó állítással ekvivalens.
Módosítva: 3 hónapja
0