Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Kezdetiérték feladat

55
Csatoltam képet.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Matematika

Válaszok

1
Legyen `y(t)=(x(t))/t` és fejezzük ki `x'(t)`-t `y(t)`-vel:

`x'(t)=d/(dt)[ty(t)]=y(t)+ty'(t)`

Így már fel tudjuk írni a differenciálegyenletet `y(t)`-re:

`y(t)+ty'(t)=y(t)+1/(2(y(t)-1))`

Átrendezve látható, hogy ez az egyenlet már szeparábilis:

`2(y(t)-1)y'(t)=1/t`

`2(y-1)(dy)/(dt)=1/t`

`int(2y-2)dy=int 1/t dt`

`y^2-2y+c_1=ln t+c_2`

`y^2-2y-ln t+c=0`

Másodfokú egyenletet kaptunk `y`-ra, a megoldóképlet alapján:

`y=(2 pm sqrt(4-4(-ln t +c)))/2=1 pm sqrt(lnt +d)`

Visszaírva `x(t)`-re:

`x(t)=t pm t sqrt(ln t +d)`

Ez a differenciálegyenlet általános megoldása, `d` tetszőleges valós szám lehet. A feladat viszont nem ezt kérte, hanem azt a partikuláris megoldást, amelyik kielégíti az `x(2)=4` kezdeti feltételt, vagyis ennek megfelelően kell megválasztanunk `d` értékét:

`2 + 2sqrt(ln2 + d)=4` vagy `2 - 2sqrt(ln2 + d)=4`

A mínuszos esethez nincs megoldás, a pluszoshoz `d=1-ln2`, vagyis a keresett függvény:

`x(t)=t+t sqrt(ln t +1-ln2)=t+t sqrt(ln (t/2)+1)`
1