Az első számjegyet öt helyre tudod írni a másodikat 4 a harmadikat pedig három, így 5*4*3 = 60 különböző lehetőséged van ismétlés nélkül.
(Ismétléssel: 125)

(A fenti megoldás téves, amennyiben nem én értettem félre a feladatot, de elég egyértelműnek tűnik.)

Az első számjegy 0 kivételével bármi lehet, így 9-féle jegy kerülhet oda. A második a már felhasznált kivételével bármi lehet, így 9-féle lehet. Ezután már csak 8, 7, és utolsónak 6 jegy közül választhatsz, ez összesen 9×9×8×7×6 eset.

dap: Teljesen igazad van!
bendi: tőled meg elnézést kérek a vehemens választól nem gondoltam át, és utána sem néztem, hogy mit írok.

Tehát:
Valamiért arra asszociáltam, hogy ezek a számok, amikből ötjegyű számot kell képezni az 1; 2; 3; 4; és 5, és egyik szám sem ismétlődhet.
De ebben az esetben sem lenne jó amit írtam (nem is értem, hogy fordulhatott elő ilyen egy ilyen feladatnál ami nem is nehéz), hiszen ez egy ismétlés nélküli permutáció lenne, ami ebben az esetben 5!=120.
Most ezt teljesen feleslegesen leírtam, hogy ne tűnjek teljesen hülyének, de a lényeg, hogy elnézést, és máskor igyekszem a hiperaktivitásom csökkenteni, és mielőtt elküldöm átolvasom kétszer is a kérdést, és a választ is....

Megjegyzés:

Van egy másik megoldás is. Az ötjegyű számok kiválasztása először történjen úgy, hogy a nullás számjegyeket nem tartalmazza. Ekkor az utolsó négy helyre `((10), (4))*4!`-féleképpen juthatok el. Figyelembe véve az első számjegyeket az eredmény `5*((10),(4))*4!` lesz. Mivel a nullás számjegy 4 féleképpen kerülhet a már kiválasztott számnégyes közé, ezért a nullás számjegyeket tartalmazó számok még újabb `4*((10),(4))*4!` darabszámot adnak. Azaz e két szám összege a már levezetett `9*9*8*7*6=27216` darabszámmal egyezik meg. Ez még nem jelenti azt, hogy nem dapé az elegánsabb megoldás.