Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Analitikus geometria feladatban kellene egy kis segítség! SOS

58
Sziasztok!
Elakadtam egy feladatban, le tudjátok nekem kérlek vezetni?
Bizonyítsuk be, hogy az (x^2/4)-y^2=1 egyenletű hiperbola bármely pontja olyan távolságra van az aszimptotáktól, hogy e két távolság szorzata állandó. Adjuk meg ezt az állandót!
Előre is nagyon köszönöm a segítséget!
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
koordinátageometria, hiperbola, algebra
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

1
A hiperbola aszimptotái ezek az egyenesek:
`y/x=±1/2`
Ez ugye még kijött? Ha nem, szólj.

Vagyis a két egyenes egyenlete:
`x±2y=0`
Az `(x_0,y_0)` pont távolsága ezektől az egyenesektől:
`d=(|x_0±2y_0|)/sqrt(1^2+2^2)`
Ezek szorzata:
`d_1·d_2=(|x_0+2y_0|)/sqrt(5)(|x_0-2y_0|)/sqrt(5)=(|x_0^2-4y_0^2|)/5`

A hiperbola egyenletét 4-gyel szorozva:
`x^2-4y^2=4`
és a mi `(x_0,y_0)` pontunk ezen van rajta, vagyis a szorzat:
`d_1·d_2=4/5`
1