Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Valszám2

62
Egy város lakosainak magassága normális eloszlású valószínűségi változó. A lakosok 60%-a 170 cm-nél magasabb, 95%-a pedig 190 cm-nél alacsonyabb.

(a) Határozzuk meg a magasság várható értékét és szórását! (m ≈ 172,6 cm, σ ≈ 10,6 cm)
(b) Adjuk meg az m várható értékű és σ szórású normális eloszlás sűrűségfüggvényét!
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
matek, valszám, normális, eloszlás, magasság
0
Felsőoktatás / Matematika

Válaszok

1
Az `X` normális eloszlás standardizáltja:
`Z=(X-m)/σ`
Ennek az eloszlásnak az értékeit táblázat mutatja. Pl itt van egy:
http://math.bme.hu/~jmala/A3/A3_2018-19_%C5%91sz/kepletek/standard_normalis_eloszlas.pdf
Ha jól megnézed, ez csak egy fél táblázat: csak a pozitív `z`-ket tartalmazza, a `Φ` értékek pedig 0,5-től indulnak. Azért nem kell a másik fele, mert az szimmetrikus erre, tehát ebből a fél táblázatból az is leolvasható.

Kezdjük a 95%-kal, az az egyszerűbb:
> A lakosok 95%-a 190 cm-nél alacsonyabb
`P(X < 190) = "0,95"`
vagy a standardizált eloszlással:
`P(Z < z_2) = "0,95"`
A táblázatban a 0,95 lesz a Φ érték. Abból visszafelé meg tudjuk keresni `z_2`-t: keresd meg te is, 1,64-hoz 0,9495 tartozik, 1,65-hoz pedig 0,9505. A kettő átlaga éppen 0,95, vagyis ahhoz nagyjából 1,645-es `z` érték tartozik:
`z_2="1,645"`
`z_2=(x_2-m)/σ=(190-m)/σ="1,645"`
Lett egy egyenletünk a várható értékre és a szórásra:
`(190-m)/σ="1,645"`

Aztán nézzük a másik ismert adatot:
> A lakosok 60%-a 170 cm-nél magasabb
Az eloszlásoknál nem az a jó adat, hogy `P(X > 170)`, hanem az, hogy `P(X < 170)`. Ha 60% nagyobb, akkor 40% kisebb.
`P(Z < z_1) = "0,40"`

Most ki kellene deríteni, hogy milyen standardizált `z_1` érték tartozik a 0,4-hez. Viszont a táblázat 0,5-től indul!
A normális eloszlás szimmetrikus, azt kell felhasználni. Levezetem, hogyan (a vége egyszerű lesz, de most hoszan vezetem le)
A `z_1` értékhez tartozó `Φ(z_1)` ezt a valószínűséget jelenti:
`P(Z < z_1)=Φ(z_1)`
A szimmetra miatt amennyi terület egy `z_1`-től balra van a haranggörbében, ugyanekkora terület van `-z_1`-től jobbra:
`P(Z < -z_1)=1-Φ(z_1)`

Most:
`P(Z < z_1)="0,4"`
`P(Z < -z_1)=1-"0,4"="0,6"`

(Vagyis most visszakaptuk azt a 60%-ot, ahányan magasabbak 170 centinél)

Most akkor 0,4 helyett keressük meg, milyen érték tartozik 0,6-hez. Most nem részletezem, kb. 0,253 jön ki, keresd meg.

Ami azt jelenti, hogy 0,4-hez -0,253 tartozik:
`z_1="-0,253"`
`z_1=(x_1-m)/σ=(170-m)/σ="-0,253"`
Lett egy másik egyenletünk is a várható értékre és a szórásra:
`(170-m)/σ="-0,253"`

Már csak meg kell oldani az egyenletrendszert.

b)
Ehhez nem kell semmit se számolni, csak tudni kell azt a ronda függvényt fejből. Én nem tudom fejből, de le van írva mindenfelé, mondjuk a wikipedia-n is.
https://hu.wikipedia.org/wiki/Norm%C3%A1lis_eloszl%C3%A1s
1