Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Valszám2
tomy03ful
kérdése
427
Egy város lakosainak magassága normális eloszlású valószínűségi változó. A lakosok 60%-a 170 cm-nél magasabb, 95%-a pedig 190 cm-nél alacsonyabb.
(a) Határozzuk meg a magasság várható értékét és szórását! (m ≈ 172,6 cm, σ ≈ 10,6 cm)
(b) Adjuk meg az m várható értékű és σ szórású normális eloszlás sűrűségfüggvényét!
(a) Határozzuk meg a magasság várható értékét és szórását! (m ≈ 172,6 cm, σ ≈ 10,6 cm)
(b) Adjuk meg az m várható értékű és σ szórású normális eloszlás sűrűségfüggvényét!
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
matek, valszám, normális, eloszlás, magasság
matek, valszám, normális, eloszlás, magasság
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
1
bongolo
{ 
}
megoldása
Az `X` normális eloszlás standardizáltja:
`Z=(X-m)/σ`
Ennek az eloszlásnak az értékeit táblázat mutatja. Pl itt van egy:
http://math.bme.hu/~jmala/A3/A3_2018-19_%C5%91sz/kepletek/standard_normalis_eloszlas.pdf
Ha jól megnézed, ez csak egy fél táblázat: csak a pozitív `z`-ket tartalmazza, a `Φ` értékek pedig 0,5-től indulnak. Azért nem kell a másik fele, mert az szimmetrikus erre, tehát ebből a fél táblázatból az is leolvasható.
Kezdjük a 95%-kal, az az egyszerűbb:
> A lakosok 95%-a 190 cm-nél alacsonyabb
`P(X < 190) = "0,95"`
vagy a standardizált eloszlással:
`P(Z < z_2) = "0,95"`
A táblázatban a 0,95 lesz a Φ érték. Abból visszafelé meg tudjuk keresni `z_2`-t: keresd meg te is, 1,64-hoz 0,9495 tartozik, 1,65-hoz pedig 0,9505. A kettő átlaga éppen 0,95, vagyis ahhoz nagyjából 1,645-es `z` érték tartozik:
`z_2="1,645"`
`z_2=(x_2-m)/σ=(190-m)/σ="1,645"`
Lett egy egyenletünk a várható értékre és a szórásra:
`(190-m)/σ="1,645"`
Aztán nézzük a másik ismert adatot:
> A lakosok 60%-a 170 cm-nél magasabb
Az eloszlásoknál nem az a jó adat, hogy `P(X > 170)`, hanem az, hogy `P(X < 170)`. Ha 60% nagyobb, akkor 40% kisebb.
`P(Z < z_1) = "0,40"`
Most ki kellene deríteni, hogy milyen standardizált `z_1` érték tartozik a 0,4-hez. Viszont a táblázat 0,5-től indul!
A normális eloszlás szimmetrikus, azt kell felhasználni. Levezetem, hogyan (a vége egyszerű lesz, de most hoszan vezetem le)
A `z_1` értékhez tartozó `Φ(z_1)` ezt a valószínűséget jelenti:
`P(Z < z_1)=Φ(z_1)`
A szimmetra miatt amennyi terület egy `z_1`-től balra van a haranggörbében, ugyanekkora terület van `-z_1`-től jobbra:
`P(Z < -z_1)=1-Φ(z_1)`
Most:
`P(Z < z_1)="0,4"`
`P(Z < -z_1)=1-"0,4"="0,6"`
(Vagyis most visszakaptuk azt a 60%-ot, ahányan magasabbak 170 centinél)
Most akkor 0,4 helyett keressük meg, milyen érték tartozik 0,6-hez. Most nem részletezem, kb. 0,253 jön ki, keresd meg.
Ami azt jelenti, hogy 0,4-hez -0,253 tartozik:
`z_1="-0,253"`
`z_1=(x_1-m)/σ=(170-m)/σ="-0,253"`
Lett egy másik egyenletünk is a várható értékre és a szórásra:
`(170-m)/σ="-0,253"`
Már csak meg kell oldani az egyenletrendszert.
b)
Ehhez nem kell semmit se számolni, csak tudni kell azt a ronda függvényt fejből. Én nem tudom fejből, de le van írva mindenfelé, mondjuk a wikipedia-n is.
https://hu.wikipedia.org/wiki/Norm%C3%A1lis_eloszl%C3%A1s
`Z=(X-m)/σ`
Ennek az eloszlásnak az értékeit táblázat mutatja. Pl itt van egy:
http://math.bme.hu/~jmala/A3/A3_2018-19_%C5%91sz/kepletek/standard_normalis_eloszlas.pdf
Ha jól megnézed, ez csak egy fél táblázat: csak a pozitív `z`-ket tartalmazza, a `Φ` értékek pedig 0,5-től indulnak. Azért nem kell a másik fele, mert az szimmetrikus erre, tehát ebből a fél táblázatból az is leolvasható.
Kezdjük a 95%-kal, az az egyszerűbb:
> A lakosok 95%-a 190 cm-nél alacsonyabb
`P(X < 190) = "0,95"`
vagy a standardizált eloszlással:
`P(Z < z_2) = "0,95"`
A táblázatban a 0,95 lesz a Φ érték. Abból visszafelé meg tudjuk keresni `z_2`-t: keresd meg te is, 1,64-hoz 0,9495 tartozik, 1,65-hoz pedig 0,9505. A kettő átlaga éppen 0,95, vagyis ahhoz nagyjából 1,645-es `z` érték tartozik:
`z_2="1,645"`
`z_2=(x_2-m)/σ=(190-m)/σ="1,645"`
Lett egy egyenletünk a várható értékre és a szórásra:
`(190-m)/σ="1,645"`
Aztán nézzük a másik ismert adatot:
> A lakosok 60%-a 170 cm-nél magasabb
Az eloszlásoknál nem az a jó adat, hogy `P(X > 170)`, hanem az, hogy `P(X < 170)`. Ha 60% nagyobb, akkor 40% kisebb.
`P(Z < z_1) = "0,40"`
Most ki kellene deríteni, hogy milyen standardizált `z_1` érték tartozik a 0,4-hez. Viszont a táblázat 0,5-től indul!
A normális eloszlás szimmetrikus, azt kell felhasználni. Levezetem, hogyan (a vége egyszerű lesz, de most hoszan vezetem le)
A `z_1` értékhez tartozó `Φ(z_1)` ezt a valószínűséget jelenti:
`P(Z < z_1)=Φ(z_1)`
A szimmetra miatt amennyi terület egy `z_1`-től balra van a haranggörbében, ugyanekkora terület van `-z_1`-től jobbra:
`P(Z < -z_1)=1-Φ(z_1)`
Most:
`P(Z < z_1)="0,4"`
`P(Z < -z_1)=1-"0,4"="0,6"`
(Vagyis most visszakaptuk azt a 60%-ot, ahányan magasabbak 170 centinél)
Most akkor 0,4 helyett keressük meg, milyen érték tartozik 0,6-hez. Most nem részletezem, kb. 0,253 jön ki, keresd meg.
Ami azt jelenti, hogy 0,4-hez -0,253 tartozik:
`z_1="-0,253"`
`z_1=(x_1-m)/σ=(170-m)/σ="-0,253"`
Lett egy másik egyenletünk is a várható értékre és a szórásra:
`(170-m)/σ="-0,253"`
Már csak meg kell oldani az egyenletrendszert.
b)
Ehhez nem kell semmit se számolni, csak tudni kell azt a ronda függvényt fejből. Én nem tudom fejből, de le van írva mindenfelé, mondjuk a wikipedia-n is.
https://hu.wikipedia.org/wiki/Norm%C3%A1lis_eloszl%C3%A1s
1
- Még nem érkezett komment!