Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Mátrix sajátérték kiszámítás

90
Az alábbi feladattal ott akadtam el, hogy kijött ez a harmadfokú egyenlet. Ennek elvileg van három értéke ami (5,6,-7). Ezek nekem sehogy nem jönnek ki...

Valahogy fel kellene bontani egy elsőfokú, és másodfokú egyenletre ezt a harmadfokút hogy kitudjam számolni? Mi a legkönnyebb módja ennek?

(Valahogy máshogy kilehet számolni a mátrixból a diszkriminánst, hogy ne ilyen harmadfokú jöjjön ki...? vagy mindig ez jönne ki?)


Válaszokat köszönöm!
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
mátrix, sajátérték, sajátvektor
0
Felsőoktatás / Informatika

Válaszok

1
Én a determinánst (nem diszkriminánst!) mindenképpen a második oszlop szerint fejtettem volna ki, ugyanis abban van a legtöbb nulla, tehát így kell a legkevesebbet számolni. Ráadásul a karakterisztikus polinom egyik gyöktényezője már rögtön ki is lesz emelve, így nem kell harmadfokú egyenletet megoldani:

`|(2-lambda,0,-3),(-4,6-lambda,7),(-9,0,-4-lambda)|``=``(6-lambda)|(2-lambda,-3),(-9,-4-lambda)|``=``(6-lambda)((2-lambda)(-4-lambda)-27)``=``(6-lambda)(lambda^2+2lambda-35)`

De azért nézzük meg, mit lehet csinálni, ha ezt nem veszed észre. Jól látod, sajnos ekkor meg kell oldani a harmadfokú `lambda^3-4lambda^2-47lambda+210=0` egyenletet. Ha számítógépes segítséget nem használhatsz, akkor azzal érdemes próbálkozni, hogy felteszed, hogy a sajátértékek egészek. Ha ez így van, és a polinom főegyütthatója 1, akkor a gyöktényezős alakból következően mindhárom megoldásnak osztania kell a konstans tagot.

Vagyis: megkeresed a 210 osztóit, és egyenként elkezded őket behelyettesíteni az egyenletbe (pozitív és negatív előjellel is). Ha találtál egy megoldást, akkor vagy csinálhatod tovább, amíg mindhárom megoldást meg nem találod, vagy kiemelheted a megtalált gyöktényezőt, és megoldhatod a maradék másodfokú egyenletet.

A 210 osztói:
1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210

Ezeket behelyettesítve azt találjuk, hogy `lambda_1=5` megoldás:
`5^3-4*5^2-47*5+210=0`

Emeljük ki a `lambda-5` gyöktényezőt:
`(lambda-5)(lambda^2+lambda-42)=0`

A másodfokú részt pedig már meg tudod oldani: `lambda_2=6`, `lambda_3=-7`.
Módosítva: 4 hónapja
1