Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Matematika 7.

132
Sziasztok!
Segitsetek kerlek a legalso (sarga hatteru) feladat megoldasaban! Koszi elore is!
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
matek, fejtörő
0
Általános iskola / Matematika

Válaszok

5
Az elsőnél megmutatom, hogy a GeoGebra szerint egyenlő a két terület.
https://www.geogebra.org/m/zt3art8b
Te az EFCD területet hogyan számolnád ki?
0

Update: A válasz végén van egy sokkal egyszerűbb megoldás...

Az elsőnél, szzs ábrájának jelőléseivel:
- Az OBD, ODC és OCA körcikkek (tortaszeletek) egybevágóak, mert mindegyik 30 fokos középponti szögű.
- Az OED és CFO derékszögű háromszögek egybevágóak, mert azonosak a szögei (30:60:90) és átfogójuk egyforma (r)
(jelöljük az OC és DE egyenesek metszéspontját G-vel)
- Már csak azt kellene belátni, hogy az OGD háromszög területe megegyezik az EFCG trapézzal, mert akkor az EFCG idomot bele tudjuk rakni az OGD-be, és így átszeleteltük az EFDC alakzatot az OCD "tortaszeletbe".

Ez kicsit húzós lesz...

- `OC=OD=r`
- `CF=OE=r/2`, mert 30:60:90 fokos nevezetes derékszögű háromszög.
- `DE=OF=r sqrt3/2` ugyancsak a nevezetes háromszög miatt
- `EF=OF-OE=r(sqrt3/2-1/2)`
- `"EG"/"OE"="FC"/"OF"`, mert hasonló háromszögek (párhuzamos szelők tétele, ha tanultátok...)
amiből kijön, hogy `EG=r/2·(r/2)/(r sqrt3/2)=r/2·1/sqrt3=r sqrt3/6`

És akkor:
`T_"OGD"=T_"OED"-T_"OEG"=(r/2·r sqrt3/2)/2-(r/2·r sqrt3/6)/2=r^2 sqrt3(1/8-1/24)=r^2 sqrt3/12`
A másik pedig:
`T_"EFCG"="EF"·("FC"+"EG")/2=r(sqrt3-1)/2·(r/2+r sqrt3/6)/2=r^2/24(sqrt3-1)(3+sqrt3)=r^2/24(2sqrt3)`
ami tényleg ugyanannyi...

Ez nem általános iskolába való... Lehet, hogy van sokkal egyszerűbb levezetés is...

De mindjárt írom a folytatást.

------------------------------------------------------------
Egyszerűbb megoldás, ami általános iskolában is jó: (azért kicsit hosszú...)

Továbbra is szzs ábrájának jelöléseivel...
Nem írom le pontosan az egészet, csak vázlatosan:
- CD szakasszal húzzunk párhuzamosat az O ponton keresztül.
- Bármelyik P pont, ami ezen a párhuzamos egyenesen van, olyan tulajdonságú, hogy a CDP háromszög területe megegyezik a CDO háromszög területével. Ugyanis minden ilyen háromszöhnek CD az alapja és ugyanakkora a magassága (ami a két párhuzamos egyenes távolsága).
- A CD körszelet területét minden ilyen háromszöghöz hozzárakhatjuk, így azok a "nyakoncsapott" körcikk-szerűségek területe megegyezik a CDO körcikk területével. Ami persze ugyanakkora, mint a BDO körcikk területe.
- Hosszabbítsuk meg a DE valamint az FC egyeneseket, ezek metszéspontja az O-n átmenő párhuzamos egyenessel legyen E' és F'.
- A CDE'F' négyszög egy paralelogramma, hisz szemközti oldalai párhuzamosak.
- Az OEE' háromszög egy 45 fokos derékszögű háromszög, ezért OE = EE'
- Mivel OE = FC (mindkettő r/2), ezért a CDE'F' paralelogrammát az EF szakasz éppen megfelezi
- Ezért a paralelogramma CE' átlója az EF szakaszt felezi (legyen ez a G pont)
- Ezért a CFG háromszög egybevágó az EE'G háromszöggel
- Vagyis a CDEF sokszög területe megegyezik a CDE' háromszögével

Kész is vagyunk, mert az E' pont rajta van a párhuzamos egyenesen, ezért a CDE' háromszög (valamint a "nyakoncsapott" körcikk) területe megegyezik a CDO háromszöggel (körcikkel).
Módosítva: 4 hónapja
0

A másodikat sokkal egyszerűbb belátni, hogy azok is egyformák.

Legyen a kis kör sugara `r`, akkor a nagy kör sugara `2r`.
Gondoloatban felezd meg vízszintesen a nagy kört (rajzold is le). A felezővonal felett a két fehér félkör ugyanakkora, mint az alsó kis kör, hisz azoknak is `r` a sugaruk, csak félbe vannak vágva.
Vagyis a sötét területet így lehet kiszámolni:

A nagy kör területének feléből (ami `((2r)^2π)/2`) vonjuk ki a két kis félkör, vagyis egy félkör teületét (ami `r^2π`). Ennyi marad:
`T_"sötét"=((2r)^2π)/2-r^2π=(4r^2π)/2-r^2π=2r^2π-r^2π=r^2π`
`T_"világos"=r^2π` szintén, tehát egyformák.

Ezt most számold át te is figyelmesen, menni fog.
Módosítva: 4 hónapja
0

A harmadikok is egyformák, de azt is kicsit nehéz végigvezetni. Nem annyira nehéz, mint az elsőt, de el lehet téveszteni, ha nem figyel oda nagyon az ember.

Szerintem próbáld meg, hogy a másodikat jól megérted, és az talán elég lesz a javításhoz, ha a tanár azt látja, hogy azt te magad is le tudod értelmesen vezetni. Az elsőt meg a harmadikat meg hagyjad... úgyse hinné el, hogy azokra is be tudod bizonyítani.
0

Miért kell ezt a szép kirakós játékot így elrontani?
A feladat nem kért számszerű eredményeket, csa területek egyenlőségét, ami ebben az esetben terület képletek nélkül is könnyedén elvégezhető.

Különösen az eredeti első - nálam a harmadik - feladat minősítése lepett meg!
A tanítód úgysem hiszi el, hogy be tudod bizonyítani... Hm...
Ismerős jelenség, hogy nehéz kilépni egy adott keretből, és gy új nézőpontot keresni.
Nagy tapasztalatú mesterekből több kreativitást lehetne elvárni...

Néhány alkalmas segédvonal, egy transzformáció, és máris más a kép.
Az első látásra nehezen áttekinthető vonalakból egy tükrözés után egy barátságos, körcikkekből és háromszögekből álló kirakós lesz, amit talán egy 7.-es is ki tud rakni.

Nem tudom, mit tanulnak manapság az általánosban geometriából, de ha a kört és részeit,
a háromszögeket és tulajdonságait ismerik, a feladatokat elvileg meg tudják oldani.

Ezek után a megoldásom
https://i.imgur.com/QhXIzsa.png
Ha kérdésed van, írj!
Módosítva: 4 hónapja
0