Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Trigonometriai számolási feladatban elakadtam, valaki légy szíves segítsen... :o

70
Sziasztok!
Így szól a feladat:
Az ABCD egyenlő szárú trapézban a hosszabbik alapon fekvő szögek értéke 60 fok. Ebbe a trapézba rajzolunk az oldalakat érintő kört, ennek a körnek a sugara 3√3 cm. Mekkora a trapéz kerülete?

Eljutottam odáig, hogy ugye készítettem egy vázlatos rajzot. Ebből arra következtettem, hogy négy pontban fogja érinteni a belső kör a trapéz oldalait, és kiszámoltam, hogy a kör középpontján átmenő függőleges, és vízszintes átló hossza 10,4 cm. Persze nem biztos, hogy ez idáig is jó... Próbáltam derékszögű háromszögeket keresgélni, kiszámolni az AB/2 oldal hosszát egy derékszögű háromszögből, és ezzel a módszerrel a többi oldalt is meghatározni, majd ebből kerületet számítani, de sehogy nem jó.
Köszönöm előre is a segítséget!
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
trigonometria, trapéz, geometria
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

1
Nem tiszta, mi az a vízszintes és függőleges átló, amit kiszámoltál. Az átlók nem vízszintesek meg függőlegesek. Jó lett volna, ha elküldöd a rajzodat.

Csináltam egy ábrát:
https://www.geogebra.org/classic/cnjgg4ut
Itt az első, amit lát az ember, hogy ha α=60°, akkor δ=120°.
Aztán ahogy írtad is, hogy 4 pontban érinti a kör a trapézt: `E`, `F`, `G`, `H`. Ezekben a pontokban derékszög van, mert az oldalak érintik a kört.

Akkor most nézzük az `AEI` derékszögű háromszöget (`I` a kör középpontja). Ez egybevágó az `AFI` háromszöggel, mert két oldala (`AI` és a sugarak) és a nagyobbikkal szemközti szög (derékszög) egyformák. Mivel egybevágóak, az `AI` szakasz felezi az α szöget, ezért az a szög 30°, így a háromszög másik nem derékszögű szöge 60°.
A 30-60-90 fokos háromszögről sok mindent tudunk, elsőre azt, hogy ez a fele a 60-60-60 fokos szabályos háromszögnek, aztán ebből következik, hogy oldalai `1:2:sqrt3` arányúak.
`"EI"=3sqrt3`, ezért `"AI"=6sqrt3` (bár ez nem fontos), és `"AE"=3sqrt3·sqrt3=9`
Persze az egybevágó háromszögek miatt `AF` is 9 hosszú., és mivel a szimmetrikus trapéz szimmetrikus, `BF` és `BG` is 9.

Folytassad így, kijön a kerület.
1