Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Koordináta geometria

40
Írja fel annak a körnek az egyenletét, amelynek középpontja a C pont, és érinti az ,,e,, egyenest, ha C (3;-2) és e: 4x-3y=-7
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

2
A kör egyenlete `(x-3)^2+(y+2)^2=r^2`, a feladat az `r` sugár meghatározása. Ha a kör érinti az egyenest, akkor az egyenes és a középpont távolsága éppen a keresett sugár. Egy pont és egy egyenes távolságára létezik képlet:
https://tudasbazis.sulinet.hu/hu/matematika/matematika/matematika-11-osztaly/sikbeli-alakzatok-egyenlete/pont-es-egyenes-tavolsaga-szogfelezo

Ez alapján `r=|4*3-3*(-2)+7|/sqrt(4^2+(-3)^2)=5`.





A feladatot egyébként máshogy is meg lehet oldani. Ha a kör és az egyenes érinti egymást, az azt jelenti, hogy pontosan egy közös pontjuk van, tehát az egyenleteikből alkotott egyenletrendszernek pontosan egy megoldása van. Az egyenletrendszer:

`(x-3)^2+(y+2)^2=r^2`
`4x-3y=-7`

Fejezzük ki az egyenes egyenletéből `y`-t:

`y=(4x+7)/3`

Helyettesítsük ezt be a kör egyenletébe:

`(x-3)^2+(4/3x+13/3)^2=r^2`

Bontsuk fel a zárójeleket:

`x^2-6x+9+16/9x^2+104/9x+169/9=r^2`

Rendezzük össze az azonos fokú tagokat, és szorozzunk be 9-cel, hogy eltüntessük a ronda törteket:

`25x^2+50x+250-9r^2=0`

Egy másodfokú egyenletet kaptunk. Azt szeretnénk, ha ennek pontosan egy megoldása lenne. Ez akkor lesz így, ha a diszkriminánsa nulla:

`50^2-4*25*(250-9r^2)=0`

Ezt az egyenletet kell megoldanunk `r`-re, a megoldás `r=5`. Tehát a kör egyenlete:

`(x-3)^2+(y+2)^2=25`
1

Vagy egy harmadik megoldás:
2