Azt kell tudni, hogy ha téglalapok területével becsüljük a görbe alatti területet, akkor az x-tengely mentét n egyenlő részre osztjuk, így a téglalap egyik oldala 1/n hosszú lesz (mivel 0 és 1 között a távolság 1), másik oldala pedig vagy a kisebb, vagy a nagyobb osztópontnál felvett függvényérték lesz, attól függően, hogy melyiket számítjuk; az alsó vagy a felső becslést. Szerencsére az x³ szigorúan monoton növő, tehát az előbbi osztóponttal mindig alulról, utóbbival mindig felülről becsüljük.

Alsó becslés: az osztópontok: 0, 1/n 2/n, ..., (n-1)/n, tehát a téglalapok összege (1/n)*0+(1/n)*(1/n)³+(1/n)*(2/n)³+...+(1/n)*((n-1)/n)³, kiemelünk (1/n)-t, ekkor (1/n)*(0+(1/n)³+(2/n)³+...+((n-1)/n)³), kibontjuk a zárójeleket: (1/n)*(0+1³/n³+2³/n³+...+((n-1)³/n³)), az összegből így 1/n³ is kiemelhető, tehát (1/n)*(1/n³)*(1³+2³+...+(n-1)³). Megadták az összeget; 1³+2³+3³+...+(n-1)³+n³=[(n*(n+1))/2]^2., kivonunk n³-öt, ekkor 1³+2³+3³+...+(n-1)³=[(n*(n+1))/2]²-n³, tehát felírható

(1/n)*(1/n³)*([(n*(n+1))/2]²-n³) alakban, ezt összevonjuk polinomhányados alakra:

(n⁴-2n³+n²)/(4n⁴), leosztunk az n⁴-nel: 1/4 -2/(4n) +1/(2n²). Mivel ez egy alsó becslés, ezért T≥1/4 -2/(4n) +1/(2n²).

A felső becslésnél az osztópontok: 1/n, 2/n, ..., n/n=1, ekkor megint felírható összegalakban:

(1/n)*(1/n)³+(1/n)*(2/n)³+...+(1/n)*1³, kiemelünk:
(1/n)*((1/n)³+(2/n)³+...+1³), kibontjuk a zárójelet:
(1/n)*(1³/n³+2³/n³+...+1³), majd kiemelünk 1/n³-nt:
(1/n)³*(1/n)*(1³+2³+...+n³)=[(n*(n+1))/2]²/n⁴=(n⁴+2n³+n²)/(4n⁴)=1/4+ 2/(4n) + 1/(4n²). Mivel ez egy felső becslés, ezért T≤1/4 -2/(4n) +1/(4n²)

Tehát ennek kell teljesülnie: 1/4 -2/(4n) +1/(4n²)≤T≤1/4+ 2/(4n) + 1/(4n²), ahol T egy olyan szám, ami tetszőleges n pozitív egészre teljesül. A bal oldal értéke csak 1/4-nél kisebb lehet, a jobb oldal értéke csak 1/4-nél nagyobb, tehát T=1/4 lesz az a szám, ami minden n-re teljesíteni fogja az egyenlőtlenséget, ezért a függvény alatti terület 1/4 lesz. Ha nem így okoskodunk, hanem határérték-számítással, akkor n→∞-re kell megnézni a határértéket, ami mindkét esetben 1/4 lesz, tehát kvázi ugyanazt kaptuk; csak 1/4 lehet a függvényérték.