Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Forgástest térfogata SOS!

matesz19 kérdése
128
A sinx függvényt a [0;pí] intervallumon megforgatjuk az x tengely körül. Mennyi a keletkező forgástest térfogata?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
matek, térfogat, deriválás, integrálás, hard, Matematika
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

2

Rantnad { Aranyérmes } válasza
Forgástest térfogata: intab(f²(x)*π) dx. Ez azért van így, mert hengerek térfogatösszegével lehet alulról és felülről becsülni, ahol a hengerek magassága az osztópont hossza, sugara pedig a kisebbik vagy nagyobbik osztóponton felvett függvényérték, ha az osztópont a, akkor alapkörének sugara f(a), térfogata f(a)²*π, és ezek összege adja a test térfogatát.

Tehát esetünkben int₀π(sin²(x)*π)

A sin²(x) átírható elsőfokú trigonometrikus függvénnyé, amit könnyebb integrálni:

sin²(x)=(2*sin²(x))/2=(sin²(x)+sin²(x))/2=(1-cos²(x)+sin²(x))/2=(1-(sin²(x)-cos²(x))/2=(1-cos(2x))/2, tehát ezt kell integrálni, sokkal egyszerűbb, mint a sin²(x)-nek nekiesni, tehát

int0π((1-cos(2x))/2*π)dx=[(x/2-sin(2x)/4)*π]₀π=

=(π/2-cos(2π)/4)*π -(0-cos(0)/4*π)=π²/2.
1