Keresés


Toplista

Toplista
  • betöltés...

Magántanár kereső

Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!

Forgástest térfogata SOS!

735
A sinx függvényt a [0;pí] intervallumon megforgatjuk az x tengely körül. Mennyi a keletkező forgástest térfogata?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
matek, térfogat, deriválás, integrálás, hard, Matematika
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

2
A képletet alkalmazva beírtam wolframba, remélem jó :D

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integral&rawformassumption=%7B%22F%22,+%22Integral%22,+%22integrand%22%7D+-%3E%22pi*sin%5E2(x)%22&rawformassumption=%7B%22F%22,+%22Integral%22,+%22variable%22%7D+-%3E%22x%22&rawformassumption=%7B%22F%22,+%22Integral%22,+%22rangestart%22%7D+-%3E%220%22&rawformassumption=%7B%22F%22,+%22Integral%22,+%22rangeend%22%7D+-%3E%22pi%22&rawformassumption=%7B%22C%22,+%22integral%22%7D+-%3E+%7B%22Calculator%22%7D
0

Forgástest térfogata: intab(f²(x)*π) dx. Ez azért van így, mert hengerek térfogatösszegével lehet alulról és felülről becsülni, ahol a hengerek magassága az osztópont hossza, sugara pedig a kisebbik vagy nagyobbik osztóponton felvett függvényérték, ha az osztópont a, akkor alapkörének sugara f(a), térfogata f(a)²*π, és ezek összege adja a test térfogatát.

Tehát esetünkben int₀π(sin²(x)*π)

A sin²(x) átírható elsőfokú trigonometrikus függvénnyé, amit könnyebb integrálni:

sin²(x)=(2*sin²(x))/2=(sin²(x)+sin²(x))/2=(1-cos²(x)+sin²(x))/2=(1-(sin²(x)-cos²(x))/2=(1-cos(2x))/2, tehát ezt kell integrálni, sokkal egyszerűbb, mint a sin²(x)-nek nekiesni, tehát

int0π((1-cos(2x))/2*π)dx=[(x/2-sin(2x)/4)*π]₀π=

=(π/2-cos(2π)/4)*π -(0-cos(0)/4*π)=π²/2.
1