A képletet alkalmazva beírtam wolframba, remélem jó

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integral&rawformassumption=%7B%22F%22,+%22Integral%22,+%22integrand%22%7D+-%3E%22pi*sin%5E2(x)%22&rawformassumption=%7B%22F%22,+%22Integral%22,+%22variable%22%7D+-%3E%22x%22&rawformassumption=%7B%22F%22,+%22Integral%22,+%22rangestart%22%7D+-%3E%220%22&rawformassumption=%7B%22F%22,+%22Integral%22,+%22rangeend%22%7D+-%3E%22pi%22&rawformassumption=%7B%22C%22,+%22integral%22%7D+-%3E+%7B%22Calculator%22%7D

Forgástest térfogata: intab(f²(x)*π) dx. Ez azért van így, mert hengerek térfogatösszegével lehet alulról és felülről becsülni, ahol a hengerek magassága az osztópont hossza, sugara pedig a kisebbik vagy nagyobbik osztóponton felvett függvényérték, ha az osztópont a, akkor alapkörének sugara f(a), térfogata f(a)²*π, és ezek összege adja a test térfogatát.

Tehát esetünkben int₀π(sin²(x)*π)

A sin²(x) átírható elsőfokú trigonometrikus függvénnyé, amit könnyebb integrálni:

sin²(x)=(2*sin²(x))/2=(sin²(x)+sin²(x))/2=(1-cos²(x)+sin²(x))/2=(1-(sin²(x)-cos²(x))/2=(1-cos(2x))/2, tehát ezt kell integrálni, sokkal egyszerűbb, mint a sin²(x)-nek nekiesni, tehát

int0π((1-cos(2x))/2*π)dx=[(x/2-sin(2x)/4)*π]₀π=

=(π/2-cos(2π)/4)*π -(0-cos(0)/4*π)=π²/2.