Integráláshoz segítség!

Az érintő meredekségét a deriváltfüggvény adja meg adott x pontban:

(x²)'=2x, tehát x=-1 esetén a meredekség -2, x=2 esetén 4.

A függvényérték x=-1 esetén 1, tehát a (-1;1) pontba húzható, -2 meredekségű egyenes kell nekünk. Minden meredekséggel rendelkező egyenes felírható y=mx+b alakban, ahol m a meredekség. Beírjuk az adottakat:

1=-2*(-1)+b, erre -1=b adódik, tehát az egyenes egyenlete: y=-2x-1

A másik esetben a 4 meredekségű, (2;4) ponton átmenő egyenes egyenlete kell:

4=4*2+b, innen -b=4 adódik, tehát az egyenes egyenlete: y=4x-4.

Szükségünk van a két egyenes metszéspontjára, tehát egyenletrendszerbe foglaljuk egyenleteiket:

y=-2x-1 }
y=4x-4 }, y helyére beírjuk az adottat:

4x-4=-2x-1
6x=3
x=1/2, y=4*(1/2)-4=-2, tehát a metszéspont: (1/2;-2).

Érdemes ábrát készíteni, hogy mit és hogyan integráljunk. Ebből az ábrából egy kicsit tanácstalanok lehetünk, ezért ajánlott eltolni az összes függvényt 2-vel felfelé, így az eredeti síkidom területe nem fog változni, így az x²+2 függvényt kapjuk, az egyesek egyenletei y=-2x+1 és y=4x-2 lesz. Az eltolásból látható, hogy a síkidom területét úgy kapjuk meg, hogy kiszámoljuk az x²+2 görbe alatti terület nagyságát a [-1;2] intervallumon, és ebből levonjuk az egyenesek alatti részek területeit.

int-1² (x²+2) dx = [x³/3 + 2x]-1²=

2³/3 +2*2 - ((-1)³/3 +2*(-1))=8/3 +4 +1/3 +2=9

Az egyeneseket is lehet integrálni, de felesleges, ha tudjuk, hogy ezek derékszögű háromszögeket vágnak ki;

-2x+1 esetén -1-től 0,5-ig a függvény alatti terület egy olyan derékszögű háromszög, ahol a befogók hossza 3 és 1,5, tehát 3*1,5/2=2,25 az alatta lévő terület.

4x-2 esetén a befogók hossza 1,5 és 6, 1,5*6/2=4,5.

9-2,25-4,5=2,25, tehát a síkidom területe 2,25 területegység.