Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Diszkrét Matematika, Témakör: Testek - Testbővítés, ZH példa#1

134
Készítse el (elemek és műveleti táblák megadása) a 8 elemű véges testet a kételemű test x^3 + x^2 + 1 polinom gyökével történő bővítéssel.

Hasonló feladat lesz a ZH-ban, ezért kérném segítségeteket a feladat megoldásához. Ha lehetséges, akkor minél részletesebben.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
Dimat, diszkrét, Matematika, test, testek, testbővítés
0
Felsőoktatás / Matematika

Válaszok

1
Tehát `\text{F}_8`-at szeretnénk generálni úgy, hogy `\text{Z}_2`-t bővítjük az `x^3+x^2+1` polinom `u` gyökével. Elsőként illik belátni, hogy a polinom `\text{Z}_2` fölött irreducibilis. Ez valóban így van, hiszen `0^3+0^2+1=1` és `1^3+1^2+1=3 \equiv 1`, azaz nincs `\text{Z}_2`-beli gyöke.

`\text{F}_8` elemeit az `alpha u^2 + beta u + gamma` számok alkotják, ahol `alpha, beta, gamma in \text{Z}_2`. Vagyis a nyolc elem:
`f_1=0u^2+0u+0=0`
`f_2=0u^2+0u+1=1`
`f_3=0u^2+1u+0=u`
`f_4=0u^2+1u+1=u+1`
`f_5=1u^2+0u+0=u^2`
`f_6=1u^2+0u+1=u^2+1`
`f_7=1u^2+1u+0=u^2+u`
`f_8=1u^2+1u+1=u^2+u+1`

Az összeadás és a szorzás táblázata ugyanúgy fog kinézni, mint a polinomoknál általában. Nézzünk néhány példát:
`f_2+f_3=1+u=f_4`
`f_7+f_8=u^2+u+u^2+u+1=1=f_2`
`f_3*f_3=u^2=f_5`
`f_3*f_6=u*(u^2+1)=u^3+u=u^2+1+u=f_8`

Itt az utolsó szorulhat némi magyarázatra. Hogyan lett `u^3`-ból `u^2+1`? Hát úgy, hogy `u` gyöke az `x^3+x^2+1` polinomnak, vagyis `u^3+u^2+1=0`, innen pedig `u^3=-u^2-1``=``u^2+1` (a kételemű véges testben ugyebár a kivonás és az összeadás ekvivalens).
0