Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Szimmetrikus egyenlet?

60
2x^4 -7x³+9x²-7x+2=0
Ezt hogyan kéne megoldani?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

1
Az eredeti egyenlet:
`2x^4-7x^3+9x^2-7x+2=0`

Osszunk le `x^2`-tel (megtehetjük, mert `x=0` nem megoldás):
`2x^2-7x+9-7/x+2/x^2=0`

Rendezzük össze az azonos pozitív és negatív hatványokat (itt használjuk ki a szimmetrikus együtthatókat):
`2(x^2+1/x^2)-7(x+1/x)+9=0`

Vezessünk be egy új változót: `y=x+1/x`. Ekkor `y^2=x^2+1/x^2+2`. Írjuk fel az egyenletet `y`-ra:
`2(y^2-2)-7y+9=0`
`2y^2-7y+5=0`

Ez egy sima másodfokú egyenlet, a megoldásai `y_1=1` és `y_2=2.5`. Már csak vissza kell számolnunk az `x`-eket az `y`-okból. Nézzük az első esetet:
`x+1/x=1`
`x^2+1=x`
`x^2-x+1=0`

Ennek a diszkriminánsa negatív, nincs valós gyöke. Nézzük a második esetet:
`x+1/x=2.5`
`x^2+1=2.5x`
`x^2-2.5x+1=0`
`2x^2-5x+2=0`

Ennek a gyökei `x_1=2` és `x_2=0.5`, ezek tehát az eredeti egyenlet valós megoldásai.
0