Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Matek
Lexa67
kérdése
388
Egy kalapban 8 piros és 22 fehér golyó van. Mennyi a valószínűsége annak, hogy találomra hat golyót kihúzva, abból 3 piros és a többi fehér? És annak, hogy egy golyót húzva az fehér?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
2
zsombi0806
{ Matematikus }
válasza
Lehet hogy egyszerűbben el lehet magyarázni, de én jelenleg így értem.
8 piros (P) és 22 fehér (F) golyó van, ami összesen 30 golyó. Ebből 3 F és 3 P kell.
Vegyünk egy húzási sorrendet, pl.: FFFPPP. Ennek a valószínűségét könnyen ki tudod számolni:
`22/30*21/29*20/28*8/27*7/26*6/25`
Akármilyen más sorrendet veszel, a nevezőkben ugyanezek a számok lesznek. Azt is beláthatod, hogy a számlálókban is ugyanezek a számok lesznek, hiszen mindenképp 3-at veszek ki mindkettőből, és ha kivettem egyet, mindegy mikor veszem ki a következőt, 1-gyel kevesebből húzhatok.
Most, hogy megvan, hogy mekkora a valószínűsége egy olyan húzásnak, ahol 3 F és 3 P van, csak azt kel megszámolni, hogy hány ilyen húzás van. Ha tudod, hogy 6 elemet, melyek közül 3-3 azonos `(6!)/(3!*3!)` ennyiszer lehet sorba rendezni, akkor csak szorozd össze a két kapott számot, és megvagy. Ha nem, akkor:
Jelöljük meg a színeket, hogy meg lehessen őket különböztetni: `F_1 " " F_2 " " F_3 " " P_1 " " P_2 " " P_3 `
Ezeket, mivel mind különböző, `6!` félén tudod sorba rendezni. (Első helyre 6, másodikra 5, stb.)
Képzelj el így egy sorba rendezést (pl a két sorral fentebbit, de nem számít). Jelöld ki a fehér golyókat. Ezeket így kiemelve `3!` félén tudod elrendezni. Mivel ezek mind fehérek valójában, ezek az elrendezések ugyanahhoz a kimenetelhez vezetnek, ezért le kell osztanod ezzel az elrendezéseik számával. Hasonlóan beláthatod ugyanezt a piros golyókra. Innen jön a fentebbi képlet.
A pontos érték `2464/16965 approx 0.1452402004126142`
b)
Egy fehér golyót kell kihúznod, tehát 22 golyó közül húzhatsz a 30-ból. A valószínűsége, hogy ez megtörténik `22/30=11/15 approx 0.7dot3`
8 piros (P) és 22 fehér (F) golyó van, ami összesen 30 golyó. Ebből 3 F és 3 P kell.
Vegyünk egy húzási sorrendet, pl.: FFFPPP. Ennek a valószínűségét könnyen ki tudod számolni:
`22/30*21/29*20/28*8/27*7/26*6/25`
Akármilyen más sorrendet veszel, a nevezőkben ugyanezek a számok lesznek. Azt is beláthatod, hogy a számlálókban is ugyanezek a számok lesznek, hiszen mindenképp 3-at veszek ki mindkettőből, és ha kivettem egyet, mindegy mikor veszem ki a következőt, 1-gyel kevesebből húzhatok.
Most, hogy megvan, hogy mekkora a valószínűsége egy olyan húzásnak, ahol 3 F és 3 P van, csak azt kel megszámolni, hogy hány ilyen húzás van. Ha tudod, hogy 6 elemet, melyek közül 3-3 azonos `(6!)/(3!*3!)` ennyiszer lehet sorba rendezni, akkor csak szorozd össze a két kapott számot, és megvagy. Ha nem, akkor:
Jelöljük meg a színeket, hogy meg lehessen őket különböztetni: `F_1 " " F_2 " " F_3 " " P_1 " " P_2 " " P_3 `
Ezeket, mivel mind különböző, `6!` félén tudod sorba rendezni. (Első helyre 6, másodikra 5, stb.)
Képzelj el így egy sorba rendezést (pl a két sorral fentebbit, de nem számít). Jelöld ki a fehér golyókat. Ezeket így kiemelve `3!` félén tudod elrendezni. Mivel ezek mind fehérek valójában, ezek az elrendezések ugyanahhoz a kimenetelhez vezetnek, ezért le kell osztanod ezzel az elrendezéseik számával. Hasonlóan beláthatod ugyanezt a piros golyókra. Innen jön a fentebbi képlet.
A pontos érték `2464/16965 approx 0.1452402004126142`
b)
Egy fehér golyót kell kihúznod, tehát 22 golyó közül húzhatsz a 30-ból. A valószínűsége, hogy ez megtörténik `22/30=11/15 approx 0.7dot3`
Módosítva: 4 éve
0
- Még nem érkezett komment!
bongolo
{ 
}
válasza
Teljesen jó, ahogy zsombi0806 csinálta, én kicsit máshogy magyarázom:
Hogy egyszerűbb legyen, gondolatban számozzuk meg a golyókat. Ettől a sorrendjük számítani fog és egyszerűbb lesz számolni.
Összes esetek száma: 30·29·28·27·26·25
Kedvező esetek száma:
Képzelj magad elé 6 tálkát, abba kell tenni a golyókat sorban. A 6 tálkából `((6),(3))` módon választhatjuk meg, hogy melyik legyen a piros, a maradék pedig fehér lesz.
Először a piros tálkákba tegyünk piros golyókat, ezt ennyiféleképpen lehet: 8·7·6
Aztán a fehér tálkákba: 22·21·20
Vagyis a kedvező esetek száma:
`((6),(3))·8·7·6·22·21·20`
A valószínűség pedig:
`((6),(3))·(8·7·6·22·21·20)/(30·29·28·27·26·25)`
Ez pontosan ugyanaz, mint amit zsombi0806 számolt.
A másikat meg se ismétlem, az teljesen jól érthető.
Hogy egyszerűbb legyen, gondolatban számozzuk meg a golyókat. Ettől a sorrendjük számítani fog és egyszerűbb lesz számolni.
Összes esetek száma: 30·29·28·27·26·25
Kedvező esetek száma:
Képzelj magad elé 6 tálkát, abba kell tenni a golyókat sorban. A 6 tálkából `((6),(3))` módon választhatjuk meg, hogy melyik legyen a piros, a maradék pedig fehér lesz.
Először a piros tálkákba tegyünk piros golyókat, ezt ennyiféleképpen lehet: 8·7·6
Aztán a fehér tálkákba: 22·21·20
Vagyis a kedvező esetek száma:
`((6),(3))·8·7·6·22·21·20`
A valószínűség pedig:
`((6),(3))·(8·7·6·22·21·20)/(30·29·28·27·26·25)`
Ez pontosan ugyanaz, mint amit zsombi0806 számolt.
A másikat meg se ismétlem, az teljesen jól érthető.
1
- Még nem érkezett komment!