A kör és az egyenes kölcsönös helyzete.

Az egyenes egyenlete ez: y=1
Ez azt jelenti, hogy tök mindegy, mi x értéke, y=1 mindenhol. Magyarul ez egy vízszintes egyenes 1 magason. (Valójában ennek felismerése nem igazán szükséges a megoldáshoz, de annyira mutatta magát...)

A kör egyenlete pedig: x²+y²-4y-4=0
Át lehetne alakítani, hogy jobban látszódjon, hol hol van a kör középpontja és mekkora a sugara, de nem szükséges.

(Ha gyakorlásképpen érdekel, így kell:
Az x-es tagokból egy szem négyzet van, az OK.
Az y-osokból is négyzetet kel csinálni:
Ezekben van y: `y^2-4y`
Ez ehhez a négyzethez hasonlít: `(y-2)^2`. A hasonlít azt jelenti, hogy az eleje pont ugyanaz, hisz ez kifejtve `y^2-4y+4`. Ha kivonunk belőle 4-et, `y^2-4y`-et kapunk, tehát az y-os tagokból ez lett: `(y-2)^2-4`. Ezt beírjuk az egyenletbe:
`x^2+((y-2)^2-4)-4=0`
`x^2+(y-2)^2-8=0`
`x^2+(y-2)^2=8`
Végül a 8-ból is négyzetet kell csinálni:
`x^2+(y-2)^2=sqrt8^2`
Még jobban látszik, ha így írjuk:
`(x-0)^2+(y-2)^2=sqrt8^2`
Vagyis a kör középpontja a (0;2) pontban van, sugara pedig `sqrt8`.
De mint mondtam, erre nincs szükség.)

A kérdés most az, hogy van-e közös pontja a körnek és az egyenesnek, és ha van, mennyi van.

Ezt ezzel a módszerrel lehet megoldani minden ilyen feladatnál:
A közös pont mindkét egyenletet kielégíti, vagyis meg kell oldani azt az egyenletrendszert, amit az eredeti egyenletek kiadnak:

`x^2+y^2-4y-4=0`
`y=1`

Ennek megoldása most nagyon könnyű, az első egyenletben minden y helyett 1-et kell írni:
`x^2+1^2-4·1-4=0`
`x^2-7=0`
`x^2=7`
Ennek két megoldása van:
`x_1=sqrt7`
`x_2=-sqrt7`
Azt tudjuk, hogy `y=1`, vagyis a két pont, ahol metszi az egyenes a kört, ezek:
`(sqrt7; 1)` és `(-sqrt7; 1)`

Vagyis a válasz az, hogy az egyenes a fent kiszámolt két pontban metszi a kört.