Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Szögfelezőtétel
kissandrás
kérdése
2178
Az ABC háromszögben AB=4cm, BC=5cm, CA=6cm. Számítsuk ki azon szakaszok hosszát, amelyekre az A csúcsból induló belső szögfelező osztja a B csúcsból induló belső szögfelező háromszögbe eső szakaszát!
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
3
dap
válasza
Messe D-ben a B-ből induló szögfelező az AC-oldalt. A szögfelezőtétel alapján (valamint arányos osztással) AD-t és DC-t kiszámolhatod. Ez után, a D-nél keletkezett két szög segítségével felírhatod a keletkezett két kisháromszögre (BDC, BDA) a cos.-tételt. Majd felhasználva, hogy a kiegészítő szögek koszinuszai egymás ellentetjei a kapott kétismeretlenes egyenletből kiszámolhatod a szögfelező hosszát.
//Vagy: lényegében ugyanez: szögfelezőtétel + Stewart-tétel.
//Vagy: lényegében ugyanez: szögfelezőtétel + Stewart-tétel.
0
- Még nem érkezett komment!
DeeDee
válasza
A feladatot úgy is meg lehet fogalmazni, hogy mekkora részekre oszt egy belső szögfelezőt a beírt kör középpontja, mivel a szögfelezők ebben a pontban metszik egymást.
A jelölések
A,B,C - a háromszög csúcsai
B' - a B csúcsból induló szögfelező talppontja az AC oldalon
O - a beírt kör középpontja
λ - az osztótényező
f, fB,fB' - szögfelező és részei
Az oldalak
a=5 cm
b=6 cm
c=4 cm
Számítandó az OB és az OB' szakasz hossza
A következőkben leírt módszer egy saját használatra kialakított szisztéma, amihez csak egy paraméter szükséges: a szögfelező talpponti oldalának - esetünkben a 'b' oldal - osztótényezője. Az osztótényező mindig az illető oldal és a másik kettő összegének hányadosa.
A szögfelező hosszának képlete az első válaszoló módszeréhez hasonló módon kapott összefüggés egyszerűsített változata.
Ezek után a képletek és a megoldás.
A 'b' oldal osztótényezője
λb= b/(a+c)
A B csúcsból induló szögfelező hossza
fb = gb√(1-λb²)
ahol
gb=√ ac =G(a,c) - a szögfelezőt közrefogó oldalak mértani közepe
Az OB szakasz hossza
fB= fb/(1+λb)
Az OB' szakasz hossza
fB'=fb-fB
Ennyi bevezetés után a feladat megoldása
A 'b' oldal osztótényezője
λb=b/(a+c)=6/(5+4)
λb= 2/3
A szögfelező hossza
fb = gb√(1-λb²)
gb=√ ac
gb=√ 20
√(1-λb²)=√ (1-4/9)
√(1-λb²)=√ (5/9)
Ezekkel a szögfelező
fb =√ 20 *√ (5/9)
fb =10/3 cm
Az OB szakasz hossza
fB= fb/(1+λb)
fB=(10/3)/(1+2/3)
fB=2 cm
Az OB' szakasz hossza
fB'=fb-fB
fB'=(10/3)-2
fB'=4/3 cm
Ki lehet próbálni a többi szögfelezővel is, csak a megfelelő osztótényezőt kell használni.
Arra a kérdésre, hogy milyen ARÁNYBAN osztja az O pont a szögfelezőt, az válasz, hogy ez a hányados egyenlő a szögfelező talpponti oldalának osztótényezőjével.
Esetünkben OB'/OB = 2/3
Részletesbben lásd a rajzot.
A jelölések
A,B,C - a háromszög csúcsai
B' - a B csúcsból induló szögfelező talppontja az AC oldalon
O - a beírt kör középpontja
λ - az osztótényező
f, fB,fB' - szögfelező és részei
Az oldalak
a=5 cm
b=6 cm
c=4 cm
Számítandó az OB és az OB' szakasz hossza
A következőkben leírt módszer egy saját használatra kialakított szisztéma, amihez csak egy paraméter szükséges: a szögfelező talpponti oldalának - esetünkben a 'b' oldal - osztótényezője. Az osztótényező mindig az illető oldal és a másik kettő összegének hányadosa.
A szögfelező hosszának képlete az első válaszoló módszeréhez hasonló módon kapott összefüggés egyszerűsített változata.
Ezek után a képletek és a megoldás.
A 'b' oldal osztótényezője
λb= b/(a+c)
A B csúcsból induló szögfelező hossza
fb = gb√(1-λb²)
ahol
gb=√ ac =G(a,c) - a szögfelezőt közrefogó oldalak mértani közepe
Az OB szakasz hossza
fB= fb/(1+λb)
Az OB' szakasz hossza
fB'=fb-fB
Ennyi bevezetés után a feladat megoldása
A 'b' oldal osztótényezője
λb=b/(a+c)=6/(5+4)
λb= 2/3
A szögfelező hossza
fb = gb√(1-λb²)
gb=√ ac
gb=√ 20
√(1-λb²)=√ (1-4/9)
√(1-λb²)=√ (5/9)
Ezekkel a szögfelező
fb =√ 20 *√ (5/9)
fb =10/3 cm
Az OB szakasz hossza
fB= fb/(1+λb)
fB=(10/3)/(1+2/3)
fB=2 cm
Az OB' szakasz hossza
fB'=fb-fB
fB'=(10/3)-2
fB'=4/3 cm
Ki lehet próbálni a többi szögfelezővel is, csak a megfelelő osztótényezőt kell használni.
Arra a kérdésre, hogy milyen ARÁNYBAN osztja az O pont a szögfelezőt, az válasz, hogy ez a hányados egyenlő a szögfelező talpponti oldalának osztótényezőjével.
Esetünkben OB'/OB = 2/3
Részletesbben lásd a rajzot.
0
- Még nem érkezett komment!