Be- és köréírható testek (kocka köré gömb)

Ez igy jó ?
1436,76 = 4π * r3/3
r= 7.000...... ∼ 7

pitagorasz r² + r ² = a²
49 + 49 = 91 / √
a = 9,89

a,

A kocka testátlója fog megegyezni a gömb sugarával, amiből így következni fog, hogy Dgömb = √ 3 *a,
ugyebár a Dgömb pedig a gömb térfogategyenletéből meghatározható 1436.76 = 4*R3*∏/3, innen r=7cm, azaz Dgömb = 14cm

igy a kocka oldala a: 8.O83cm, tehát a térfogata pedig 528.1O2cm3

b, a felszinek aránya 6*a2/(4*r2*∏), ami számszerűleg O.6366, vagyis 63,66%osan tölti ki a kocka a gömböt.

c,Ez már egy trigonometrikus probléma, ahol egy egyenlőszárú hármoszöget veszünk, amelynek a két egyenlő szára között van a 2 fokos szög, a szöggel szemközti oldal pedig a gömb átmérője (azaz 14cm)

Innen Xtáv = 7/tg(1⁰), ami számszerűleg 4O1.O3cm

Mivel a kockának és a gömbnek egy közös mérete van, az átmérő (D), - amit kocka esetén testátlónak hívunk - ezért célszerű minden adatukat ennek függvényében felírni.
A válaszokhoz csak a c) kérdés miatt kell a D értékét kiszámolni, a többihez elég a felületek illetve térfogatok arányát felírni.

a)
A térfogatok aránya
A kocka esetén szükségünk van az élhosszára
Legyen
Vk - a kocka térfogata
Vg - a gömb térfogata
a - a kocka élhossza
ezzel a testátló
D=a√3
amiből
a=D/√3=D(√3/3)
A kocka térfogata
Vk=a³=D³(√3/9)
A gömb térfogata (Lásd a c) kérdésnél)
Vg=D³(π/6)
A hányadosuk
Vk/Vg=(2√3)/(3π)
innen a kocka térfogata
Vk=Vg*(2√3)/(3π)
A válasz: A kocka térfoga kerekítve
Vk=528 cm³

b)
A felszínek aránya
A kockáé
Fk=6a²
a=D(√3/3) behelyettesítésse egyszerűsítés után
Fk=2D²
A gömbé
Fg=4R²π
R=D/2 behelyettesítéssel egyszerűsítés után
Fg=D²π
és
Fk/Fg=2/π
A válasz: a kocka felszíne a gömb felszínének (2/π)*100%-a
Ez kerekítve 64%

c)
Itt az a kérdés, hogy milyen távol van az a körön kívüli pont a kör középpontjától, amelyből a körhöz húzott érintők 2°-os szöget zárnak be egymással.
Legyen
Vg = 1436,76 cm³ - a gömb térfogata
D - a kör átmérője (a kör a gömb egy főköre)
L - a külső pont és kör középpontjának távolsága
α - az érintők által bezárt szög
Ekkor írható
D/2 = L*sin(α/2)
ill.
R=L*sin(α/2)
Ebből
L=R/sin(α/2)

A gömb átmérőjét az ismert térfogatból lehet meghatározni
Vg= (4π/3)R³
R=D/2 behelyettesítéssel egyszerűsítés után
Vg = (π/6)D³
Ebből
D³ = (6/π)Vg
Harmadik gyököt vonva a kerekített érték
D = 14 cm
és
R=7cm
A keresett távolság
L=R/sin(α/2)
Behelyettesítve
L = 7/sin1°
A kerekített eredmény
L = 401 cm
A válasz: a gömb középpontja 401 cm távolságra van a nézőpontunktól.

Egy megjegyzés: kis szögek esetén a szögek szinusza és tangense jó közelítéssel megegyezik az ívmértékükkel (radiánban kifejezett értékükkel).
Példánkban írható, hogy
sin1° = π/180 (az eltérés 10^(-7) nagyságrendű)
Ezzel
L=7/(π/180) = 7*180/π
L = 401 cm (kerekítve)

A megoldás első látásra körülményesnek tünhet, de látható, hogy minden, a pontosságot torzító részeredmény kiszámítása nélkül, némi algebrai segítséggel, csak a két bemeneti adatot használva megoldható feladat.