Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Algebrai bizonyítások
BENTR3X
kérdése
473
"a) Bizonyítsd be, hogy (n!+1 ; (n+1)!+1)=1.
b) Bizonyítsd be, hogy végtelen sok 10ⁿ+3 alakú összetett szám létezik.
c) Bizonyítsd be, hogy (n³+2n ; n⁴+3n²+1)=1 minden n természetes számra igaz.
d) Bizonyítsd be, hogy bármely páratlan prímszám csak egyféleképpen áll elő két négyzetszám különbségeként."
Annak is örülök, ha valaki segít egyes részeiben a feladatnak (pl. csak az a) feladatban tud segíteni), nem muszáj az egésznek a megoldását megadni
Minden segítséget előre köszönök!
b) Bizonyítsd be, hogy végtelen sok 10ⁿ+3 alakú összetett szám létezik.
c) Bizonyítsd be, hogy (n³+2n ; n⁴+3n²+1)=1 minden n természetes számra igaz.
d) Bizonyítsd be, hogy bármely páratlan prímszám csak egyféleképpen áll elő két négyzetszám különbségeként."
Annak is örülök, ha valaki segít egyes részeiben a feladatnak (pl. csak az a) feladatban tud segíteni), nem muszáj az egésznek a megoldását megadni
Minden segítséget előre köszönök!
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
lnko, legnagyobb közös osztó, bizonyítás, algebra
lnko, legnagyobb közös osztó, bizonyítás, algebra
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
5
bongolo
{ 
}
válasza
a)
`n!+1` biztos, hogy nem osztható `n`-nel (a maradék 1), sőt, `n` valódi osztóival sem (mindegyikkel osztva 1 a maradék). Vagyis nincs közös osztójuk.
`(n!+1)·(n+1) = (n+1)!+(n+1) = ((n+1)!+1)+n`
Vagyis `(n+1)!+1=(n+1)(n!+1)-n`
Ennek és `n!+1`-nek a közös osztói a kérdés.
Az első tagot (vagyis az `(n+1)(n!+1)` kifejezést) osztja `n!+1` minden osztója. Viszont a második tagnak (`n`) nincs közös osztója `n!+1`-gyel (ahogy már az első bekezdésben leírtuk), ezért a teljes kifejezésnek sincs.
`n!+1` biztos, hogy nem osztható `n`-nel (a maradék 1), sőt, `n` valódi osztóival sem (mindegyikkel osztva 1 a maradék). Vagyis nincs közös osztójuk.
`(n!+1)·(n+1) = (n+1)!+(n+1) = ((n+1)!+1)+n`
Vagyis `(n+1)!+1=(n+1)(n!+1)-n`
Ennek és `n!+1`-nek a közös osztói a kérdés.
Az első tagot (vagyis az `(n+1)(n!+1)` kifejezést) osztja `n!+1` minden osztója. Viszont a második tagnak (`n`) nincs közös osztója `n!+1`-gyel (ahogy már az első bekezdésben leírtuk), ezért a teljes kifejezésnek sincs.
Módosítva: 5 éve
0
- Még nem érkezett komment!
bongolo
{ }
válasza
d)
`p=2k+1` páratlan prím
`p=a^2-b^2=(a+b)(a-b)`
Mivel `p` nem összetett szám, `a-b=1` kell legyen:
`a=b+1`
Vagyis a két négyzetszám a `b^2` és az `a^2=(b+1)^2`
A prím pedig `p=(a+b)(a-b)=a+b=2b+1`
Tehát `b=k` és `a=k+1` a két négyszetszám alapja, más nem lehet.
`p=2k+1` páratlan prím
`p=a^2-b^2=(a+b)(a-b)`
Mivel `p` nem összetett szám, `a-b=1` kell legyen:
`a=b+1`
Vagyis a két négyzetszám a `b^2` és az `a^2=(b+1)^2`
A prím pedig `p=(a+b)(a-b)=a+b=2b+1`
Tehát `b=k` és `a=k+1` a két négyszetszám alapja, más nem lehet.
0
- Még nem érkezett komment!
dap
válasza
b) modulo 7 vizsgáld a 10-hatványokat
0
-
dap: (Persze mással is lehet, de az első pár esetet megvizsgálva kézenfekvő 7-tel. Pl. 13-mal is ugyanannyi a periódus) 5 éve 0
bongolo
{ }
válasza
b)
Próbáld kitalálni magad a megoldást ez alapján:
Írd fel `10, 10^2, 10^3, 10^4`, stb maradékát 7-tel osztva. Mihelyt találsz egyforma maradékot, onnantól kezdve ugyanazok a maradékok ismétlődnek ciklikusan. Ezt ugye belátod?
Mondjuk így csinálhatod: `10^1=1·7+3`
Aztán `10^2=10·(1·7+3)=10·7+30=10·7+28+2=k·7+2`
Aztán `10^3=10(k·7+2)=10k·7+20=10k·7+14+6=k_2·7+6`
stb.
(Biztos, hogy ismétlődni fog, mert 0-tól 6-ig lehetnek csak a maradékok, ami véges, sőt, igen kicsi szám. Tehát 7-nél tuti rövidebb lesz a ciklus.)
A ciklus hossza fontos. Ha mondjuk 6, akkor `10^n` és `10^(n+6)` ugyanazt a maradékot adja 7-tel osztva minden `n`-re.
Aztán nézd meg, hogy a maradékok között van-e a 4, amihez 3-at adva éppen 7-et kapsz. Ennél a hatványnál `10^n+3` osztható 7-tel, tehát összetett szám.
Mivel ciklikusan ismétlődnek a maradékok, `10^n+3` ugyanolyan ciklussal osztható lesz 7-tel, vagyis azok a számok biztos összetettek. Annál több is lehet összetett, de már így is végtelen sokat felírtunk, tehát bizonyítottuk, amit kellett.
Próbáld kitalálni magad a megoldást ez alapján:
Írd fel `10, 10^2, 10^3, 10^4`, stb maradékát 7-tel osztva. Mihelyt találsz egyforma maradékot, onnantól kezdve ugyanazok a maradékok ismétlődnek ciklikusan. Ezt ugye belátod?
Mondjuk így csinálhatod: `10^1=1·7+3`
Aztán `10^2=10·(1·7+3)=10·7+30=10·7+28+2=k·7+2`
Aztán `10^3=10(k·7+2)=10k·7+20=10k·7+14+6=k_2·7+6`
stb.
(Biztos, hogy ismétlődni fog, mert 0-tól 6-ig lehetnek csak a maradékok, ami véges, sőt, igen kicsi szám. Tehát 7-nél tuti rövidebb lesz a ciklus.)
A ciklus hossza fontos. Ha mondjuk 6, akkor `10^n` és `10^(n+6)` ugyanazt a maradékot adja 7-tel osztva minden `n`-re.
Aztán nézd meg, hogy a maradékok között van-e a 4, amihez 3-at adva éppen 7-et kapsz. Ennél a hatványnál `10^n+3` osztható 7-tel, tehát összetett szám.
Mivel ciklikusan ismétlődnek a maradékok, `10^n+3` ugyanolyan ciklussal osztható lesz 7-tel, vagyis azok a számok biztos összetettek. Annál több is lehet összetett, de már így is végtelen sokat felírtunk, tehát bizonyítottuk, amit kellett.
0
- Még nem érkezett komment!
bongolo
{ }
válasza
c)
`n^3+2n=n(n^2+2)`
`n^4+3n^2+1=n^2(n^2+2)+n^2+1`
Innen be tudod fejezni az elsőhöz hasonlóan?
`n^3+2n=n(n^2+2)`
`n^4+3n^2+1=n^2(n^2+2)+n^2+1`
Innen be tudod fejezni az elsőhöz hasonlóan?
0
- Még nem érkezett komment!