Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Diszkrét Matematika, Témakör: Polinomok, Házi Feladat#1

35
Lássuk be, hogy ha az f ∈ Z[x] polinomnak gyöke a p/q racionális szám, ahol p, q ∈ Z és (p, q) = 1, akkor p osztója a konstans tagnak, q pedig a főegyütthatónak.

(Nem igazán világos ez a témakör. Igazából az egész Dimat homályos, ezért kérem a segítségeteket.)
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
Dimat, diszkrét, Matematika, polinom
0
Felsőoktatás / Matematika

Válaszok

1
Van egy egész együtthatós polinomunk:
`f(x)=f_0+f_1 x+f_2 x^2 + cdots + f_N x^N`

Tudjuk, hogy `p/q` gyöke a polinomnak:
`f(p/q)=f_0+f_1 (p/q) +f_2 (p/q)^2 + cdots + f_N (p/q)^N=0`

Vigyük át a konstans tagot a másik oldalra, majd szorozzunk `q^N`-nel:
`f_1 pq^(N-1)+f_2 p^2q^(N-2) + cdots + f_N p^N=-f_0q^N`

A bal oldalból ki lehet emelni `p`-t:
`p(f_1 q^(N-1)+f_2 pq^(N-2) + cdots + f_N p^(N-1) )=-f_0q^N`

Itt ugye minden szám egész. A bal oldal osztható `p`-vel, így nyilván a jobb oldalnak is oszthatónak kell lennie vele. A feladat szerint `p` és `q` relatív prímek, tehát a jobb oldalon ezek szerint `f_0`-nak osztója `p`, az első állítással megvagyunk.

Most egy kicsit máshogy rendezzük át a polinomot. A behelyettesített alakból most legmagasabb fokú tagot vigyük át a jobb oldalra:
`f_0q^N+f_1 pq^(N-1)+f_2 p^2q^(N-2) + cdots + f_(N-1) qp^(N-1)=-f_N p^N`

A bal oldalból ezúttal `q` emelhető ki:
`q(f_0q^(N-1)+f_1 pq^(N-2)+f_2 p^2q^(N-3) + cdots + f_(N-1) p^(N-1))=-f_N p^N`

Az előzőhöz hasonló érveléssel: a bal oldalnak osztója `q`, akkor a jobb oldalnak is, ott viszont csak `f_N`-nek lehet, mivel `p`-vel relatív prímek.
1