Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Fourier sor S.O.S

73
Meg tudná ezt oldani valaki részletesen elmagyarázva? Nagyon szépen köszönöm előre is
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Matematika

Válaszok

1
A periódus hossza 2. Alakítsuk át -1,+1 közé:
`f(x)={(30,x∈("-1",0]),(10,x∈[0,"+1")),(20,x=1) :}`
Az, hogy egyetlen egy pontban mi az értéke (20), nem számít, mert az integrál miatt egyetlen egy pont úgyis kiesik (nulla széles bárminek az integrálja nulla). Szóval lehet ezzel is számolni:
`f(x)={(30,x∈("-1",0]),(10,x∈[0,"+1"]) :}`

Most `L=1`, és `±L` között van a `2L` hosszú periódus.

A Fourier transzformált ez lesz:
`ℱ(f)=F(x)=a_0/2+sum_(n=1)^∞ (a_n·cos(π/L nx)+b_n·sin(π/L nx))`

Az együtthatók így jönnek ki:
`a_0=1/L int_(-L)^L f(t) dt=`
Az `1/L` most 1, lehagyom. Mivel a függvény több darab "kezelhető" függvényből van összerakva, darabokban tudjuk csak integrálni:
`=int_(-1)^0 30\ dt+int_0^1 10\ dt=40`
(Ennek a fele, `a_0/2=20` az "egyenáramú" komponens)

`n>0` esetén már van `a_n` és `b_n` együttható is:
`a_n=1/L int_(-L)^L f(t)cos(π/L nt) dt=int_(-1)^0 30cos(πnt)\ dt+int_0^1 10cos(πnt)\ dt`
`b_n=1/L int_(-L)^L f(t)sin(π/L nt) dt=int_(-1)^0 30sin(πnt)\ dt+int_0^1 10sin(πnt)\ dt`

Persze még be kell fejezni az integrálokat. Az egyiket a négyből végigcsinálom:
`int_(-1)^0 30cos(πnt)\ dt=[30·sin(πnt)/(πn)]_(-1)^0=30/(πn)(sin(πn·0)-sin(πn·(-1)))=0`
Megcsinálom a második integrált is:
`[10·sin(πnt)/(πn)]_0^1=10/(πn)(sin(πn·1)-sin(πn·0))=0`
Szóval `a_n=0` lett.

Jól van, megcsinálom végig, legyen nem nulla is:
`int_(-1)^0 30sin(πnt)\ dt=[- 30/(πn)cos(πnt)]_(-1)^0=30/(πn)(-cos(0)+cos(-πn))=30/(πn)(cos(πn)-1)`
Páros `n`-eknél a koszinusz értéke 1, páratlanoknál pedig -1. Vagyis párosaknál az integrál 0 lesz, páratlanoknál pedig `(-60)/(πn)`
A negyedik integrál pedig:
`[- 10/(πn)cos(πnt)]_0^1=10/(πn)(-cos(πn)+cos(0))=10/(πn)(1-cos(πn))`
Párosaknál ez is 0, páratlanoknál pedig `(20)/(πn)`
Ezért `b_(2k)=0` és `b_(2k+1)=(-40)/(π(2k+1))`

Megjegyzés: Lehetett volna az eredeti függvénnyel is dolgozni (persze az egy szem 20-as érték akkor is kiesik), akkor 0-tól `2L`-ig ment volna az integrál. Minden más ugyanúgy alakul akkor is. De bizonyára `-L` és `L` között tanultátok, azért csináltam úgy.
0