Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Indukció (emelt)
Saci
kérdése
345
Bizonyítsuk be, hogy minden n természetes szám esetén az n⁵ - 5n³ + 4n + 1 szám 1-re végződik.
(Addig eljutottam, hogy n⁵ - 5n³ + 4n -nek 0-ra kell végződni. És ezt akartam bebinyotínai, hogy ez a szám osztható 10-zel, de az utolsó lépésekben elakadtam.)
(Addig eljutottam, hogy n⁵ - 5n³ + 4n -nek 0-ra kell végződni. És ezt akartam bebinyotínai, hogy ez a szám osztható 10-zel, de az utolsó lépésekben elakadtam.)
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
2
2 hete nem aludtam
válasza
Mondok egy egyszerűsítést.
Ne azt nézd meg, hogy 0-ra végződik-e, hanem hogy osztható-e 2-vel és 5-tel, mivel ez a feltétele a 10-zel való oszthatóságnak, és ezen a példán könnyen bizonyítható.
Ne azt nézd meg, hogy 0-ra végződik-e, hanem hogy osztható-e 2-vel és 5-tel, mivel ez a feltétele a 10-zel való oszthatóságnak, és ezen a példán könnyen bizonyítható.
0
- Még nem érkezett komment!
AlBundy
{ Polihisztor }
megoldása
Valóban könnyen végignézhetők a 2-es és 5-ös maradékosztályok, de mivel a kérdés címében indukció szerepelt, álljon itt egy indukciós bizonyítás is. Ennek lényege az, hogy belátjuk az állítást a vizsgált tartomány legkisebb elemére, majd utána bebizonyítjuk, hogy a tulajdonság "öröklődik", vagyis ha `n`-re igaz, akkor `n+1`-re is.
Tehát azt szeretnénk bizonyítani, hogy `n^5-5n^3+4n` osztható tízzel minden természetes `n`-re. Első lépésben meg kell mutatnunk, hogy az állítás igaz a legkisebb természetes számra, azaz a nullára. Ez triviális, hiszen ekkor az eredmény is nulla, ami valóban osztható tízzel.
A második (indukciós) lépésben azt kell belátnunk, hogy ha `n`-re igaz az állítás, akkor ebből következik, hogy `n+1`-re is igaz. Írjuk fel a kifejezést `n+1`-re:
`(n+1)^5-5(n+1)^3+4(n+1)`
Bontsuk fel a zárójeleket:
`n^5+5n^4+5n^3-5n^2-6n`
Nézzük meg, hogy mit kell az `n`-re felírt kifejezéshez hozzáadni, hogy visszakapjuk ezt:
`(n^5-5n^3+4n)+5n^4+10n^3-5n^2-10n`
Az alapfeltevésünk az volt, hogy `n`-re igaz a dolog, tehát `(n^5-5n^3+4n)` osztható tízzel. Ezen kívül `10n^3` és `-10n` is nyilván osztható tízzel. Vagyis azt kell csak belátnunk, hogy `5n^4-5n^2` osztható tízzel. Öttel biztosan osztható, tehát elég azt bebizonyítani, hogy `n^4-n^2` mindig páros. Ez pedig nyilván igaz, hiszen `n^4-n^2=n^2(n-1)(n+1)`, így ha `n` páros, akkor `n^2` is az, ha pedig `n` páratlan, akkor `n-1` és `n+1` párosak.
Tehát azt szeretnénk bizonyítani, hogy `n^5-5n^3+4n` osztható tízzel minden természetes `n`-re. Első lépésben meg kell mutatnunk, hogy az állítás igaz a legkisebb természetes számra, azaz a nullára. Ez triviális, hiszen ekkor az eredmény is nulla, ami valóban osztható tízzel.
A második (indukciós) lépésben azt kell belátnunk, hogy ha `n`-re igaz az állítás, akkor ebből következik, hogy `n+1`-re is igaz. Írjuk fel a kifejezést `n+1`-re:
`(n+1)^5-5(n+1)^3+4(n+1)`
Bontsuk fel a zárójeleket:
`n^5+5n^4+5n^3-5n^2-6n`
Nézzük meg, hogy mit kell az `n`-re felírt kifejezéshez hozzáadni, hogy visszakapjuk ezt:
`(n^5-5n^3+4n)+5n^4+10n^3-5n^2-10n`
Az alapfeltevésünk az volt, hogy `n`-re igaz a dolog, tehát `(n^5-5n^3+4n)` osztható tízzel. Ezen kívül `10n^3` és `-10n` is nyilván osztható tízzel. Vagyis azt kell csak belátnunk, hogy `5n^4-5n^2` osztható tízzel. Öttel biztosan osztható, tehát elég azt bebizonyítani, hogy `n^4-n^2` mindig páros. Ez pedig nyilván igaz, hiszen `n^4-n^2=n^2(n-1)(n+1)`, így ha `n` páros, akkor `n^2` is az, ha pedig `n` páratlan, akkor `n-1` és `n+1` párosak.
0
- Még nem érkezett komment!