Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Indukció (emelt)

48
Bizonyítsuk be, hogy minden n természetes szám esetén az n⁵ - 5n³ + 4n + 1 szám 1-re végződik.
(Addig eljutottam, hogy n⁵ - 5n³ + 4n -nek 0-ra kell végződni. És ezt akartam bebinyotínai, hogy ez a szám osztható 10-zel, de az utolsó lépésekben elakadtam.)
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

2
Mondok egy egyszerűsítést.
Ne azt nézd meg, hogy 0-ra végződik-e, hanem hogy osztható-e 2-vel és 5-tel, mivel ez a feltétele a 10-zel való oszthatóságnak, és ezen a példán könnyen bizonyítható.
0

Valóban könnyen végignézhetők a 2-es és 5-ös maradékosztályok, de mivel a kérdés címében indukció szerepelt, álljon itt egy indukciós bizonyítás is. Ennek lényege az, hogy belátjuk az állítást a vizsgált tartomány legkisebb elemére, majd utána bebizonyítjuk, hogy a tulajdonság "öröklődik", vagyis ha `n`-re igaz, akkor `n+1`-re is.

Tehát azt szeretnénk bizonyítani, hogy `n^5-5n^3+4n` osztható tízzel minden természetes `n`-re. Első lépésben meg kell mutatnunk, hogy az állítás igaz a legkisebb természetes számra, azaz a nullára. Ez triviális, hiszen ekkor az eredmény is nulla, ami valóban osztható tízzel.

A második (indukciós) lépésben azt kell belátnunk, hogy ha `n`-re igaz az állítás, akkor ebből következik, hogy `n+1`-re is igaz. Írjuk fel a kifejezést `n+1`-re:

`(n+1)^5-5(n+1)^3+4(n+1)`

Bontsuk fel a zárójeleket:

`n^5+5n^4+5n^3-5n^2-6n`

Nézzük meg, hogy mit kell az `n`-re felírt kifejezéshez hozzáadni, hogy visszakapjuk ezt:

`(n^5-5n^3+4n)+5n^4+10n^3-5n^2-10n`

Az alapfeltevésünk az volt, hogy `n`-re igaz a dolog, tehát `(n^5-5n^3+4n)` osztható tízzel. Ezen kívül `10n^3` és `-10n` is nyilván osztható tízzel. Vagyis azt kell csak belátnunk, hogy `5n^4-5n^2` osztható tízzel. Öttel biztosan osztható, tehát elég azt bebizonyítani, hogy `n^4-n^2` mindig páros. Ez pedig nyilván igaz, hiszen `n^4-n^2=n^2(n-1)(n+1)`, így ha `n` páros, akkor `n^2` is az, ha pedig `n` páratlan, akkor `n-1` és `n+1` párosak.
0