Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Másodrendű inhomogén differencia egyenlet

39
Mi az x[t+2]+3x[t+1]-4x[t]=t-1 differencia egyenlet megoldása?
A Homogén rész megvan: A+Bt...a partikuláris megoldását először Ct+B alakban kerestem, de ott a t előtti együttható mindig kiesett, így ellentmondásra jutottam...aztán rájöttem, hogy ez lehet azért van, mert ugyanolyan alakban kerestem mint a homogén megoldását, ezért megpróbáltam Ct^2+Dt+E alakban keresni... csak így meg nem jön ki EGYÉRTELMŰ megoldás az együtthatókra...valaki letudná vezetni? Vagy elmondani,hogy mit rontok el?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
differencia, stabil, instabil, stacioner, egyensúly, differenciál, dinamika, derivált, változás, rendszer
0
Felsőoktatás / Matematika

Válaszok

1
A homogén egyenlet általános megoldását `C*p^t` alakban keressük. Helyettesítsük be:

`Cp^(t+2)+3Cp^(t+1)-4Cp^t=0`

`Cp^2p^t+3Cpp^t-4Cp^t=0`

`p^2+3p-4=0`

Ez a karakterisztikus egyenlet. Két egyszeres gyöke van: `p_1=-4` és `p_2=1`, tehát a homogén rész általános megoldása:

`x_h[t]=C_1(-4)^t+C_2*1^t=C_1*(-4)^t+C_2`



Most keressük meg az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását. Az nem volt rossz ötlet, amit próbáltál, csak szerintem elszámoltad valahol. Keressük a megoldást `C_3 t^2 + C_4t+C_5` alakban:

`C_3 (t+2)^2 + C_4(t+2)+C_5``+``3(C_3 (t+1)^2 + C_4(t+1)+C_5)``-``4(C_3 t^2 + C_4 t + C_5)=t-1`

`C_3 (t^2+4t+4) + C_4(t+2) + C_5 ``+``3C_3 (t^2+2t+1) + 3C_4(t+1)+3C_5``-``4C_3 t^2 -4C_4t-4C5=t-1`

`t^2(C_3+3C_3-4C_3)``+``t(4C_3+C_4+ 6C_3+3C_4-4C_4)``+``4C_3+2C_4+C_5+3C_3+3C_4+3C_5-4C_5=t-1`

`10C_3t+7C_3+5C_4=t-1`

Tehát a következő egyenletrendszerünk van az együtthatókra:

`10C_3=1`
`7C_3+5C_4=-1`

Innen `C_3=1/10` és `C_4=-17/50`. Vagyis egy partikuláris megoldás a következő:

`x_p[t]=1/10t^2-17/50 t`

Itt a `C_5=0` választással éltem, mivel bármelyik partikuláris megoldás jó, és akkor már miért ne válasszuk a legegyszerűbbet.



Az inhomogén egyenlet általános megoldását megkapjuk, ha az előzőeket összeadjuk:

`x[t]=x_p[t]+x_h[t]=1/10t^2-17/50 t+C_1*(-4)^t+C_2`



Ellenőrzés (kicsit furcsán rendezett, de ekvivalens alakot talál ő is):
https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5Bt%2B2%5D%2B3x%5Bt%2B1%5D-4x%5Bt%5D%3Dt-1
Módosítva: 2 hete
1