Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Másodrendű inhomogén differencia egyenlet
kapesmate
kérdése
455
Mi az x[t+2]+3x[t+1]-4x[t]=t-1 differencia egyenlet megoldása?
A Homogén rész megvan: A+Bt...a partikuláris megoldását először Ct+B alakban kerestem, de ott a t előtti együttható mindig kiesett, így ellentmondásra jutottam...aztán rájöttem, hogy ez lehet azért van, mert ugyanolyan alakban kerestem mint a homogén megoldását, ezért megpróbáltam Ct^2+Dt+E alakban keresni... csak így meg nem jön ki EGYÉRTELMŰ megoldás az együtthatókra...valaki letudná vezetni? Vagy elmondani,hogy mit rontok el?
A Homogén rész megvan: A+Bt...a partikuláris megoldását először Ct+B alakban kerestem, de ott a t előtti együttható mindig kiesett, így ellentmondásra jutottam...aztán rájöttem, hogy ez lehet azért van, mert ugyanolyan alakban kerestem mint a homogén megoldását, ezért megpróbáltam Ct^2+Dt+E alakban keresni... csak így meg nem jön ki EGYÉRTELMŰ megoldás az együtthatókra...valaki letudná vezetni? Vagy elmondani,hogy mit rontok el?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
differencia, stabil, instabil, stacioner, egyensúly, differenciál, dinamika, derivált, változás, rendszer
differencia, stabil, instabil, stacioner, egyensúly, differenciál, dinamika, derivált, változás, rendszer
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
1
AlBundy
{ Polihisztor }
megoldása
A homogén egyenlet általános megoldását `C*p^t` alakban keressük. Helyettesítsük be:
`Cp^(t+2)+3Cp^(t+1)-4Cp^t=0`
`Cp^2p^t+3Cpp^t-4Cp^t=0`
`p^2+3p-4=0`
Ez a karakterisztikus egyenlet. Két egyszeres gyöke van: `p_1=-4` és `p_2=1`, tehát a homogén rész általános megoldása:
`x_h[t]=C_1(-4)^t+C_2*1^t=C_1*(-4)^t+C_2`
Most keressük meg az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását. Az nem volt rossz ötlet, amit próbáltál, csak szerintem elszámoltad valahol. Keressük a megoldást `C_3 t^2 + C_4t+C_5` alakban:
`C_3 (t+2)^2 + C_4(t+2)+C_5``+``3(C_3 (t+1)^2 + C_4(t+1)+C_5)``-``4(C_3 t^2 + C_4 t + C_5)=t-1`
`C_3 (t^2+4t+4) + C_4(t+2) + C_5 ``+``3C_3 (t^2+2t+1) + 3C_4(t+1)+3C_5``-``4C_3 t^2 -4C_4t-4C5=t-1`
`t^2(C_3+3C_3-4C_3)``+``t(4C_3+C_4+ 6C_3+3C_4-4C_4)``+``4C_3+2C_4+C_5+3C_3+3C_4+3C_5-4C_5=t-1`
`10C_3t+7C_3+5C_4=t-1`
Tehát a következő egyenletrendszerünk van az együtthatókra:
`10C_3=1`
`7C_3+5C_4=-1`
Innen `C_3=1/10` és `C_4=-17/50`. Vagyis egy partikuláris megoldás a következő:
`x_p[t]=1/10t^2-17/50 t`
Itt a `C_5=0` választással éltem, mivel bármelyik partikuláris megoldás jó, és akkor már miért ne válasszuk a legegyszerűbbet.
Az inhomogén egyenlet általános megoldását megkapjuk, ha az előzőeket összeadjuk:
`x[t]=x_p[t]+x_h[t]=1/10t^2-17/50 t+C_1*(-4)^t+C_2`
Ellenőrzés (kicsit furcsán rendezett, de ekvivalens alakot talál ő is):
https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5Bt%2B2%5D%2B3x%5Bt%2B1%5D-4x%5Bt%5D%3Dt-1
`Cp^(t+2)+3Cp^(t+1)-4Cp^t=0`
`Cp^2p^t+3Cpp^t-4Cp^t=0`
`p^2+3p-4=0`
Ez a karakterisztikus egyenlet. Két egyszeres gyöke van: `p_1=-4` és `p_2=1`, tehát a homogén rész általános megoldása:
`x_h[t]=C_1(-4)^t+C_2*1^t=C_1*(-4)^t+C_2`
Most keressük meg az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását. Az nem volt rossz ötlet, amit próbáltál, csak szerintem elszámoltad valahol. Keressük a megoldást `C_3 t^2 + C_4t+C_5` alakban:
`C_3 (t+2)^2 + C_4(t+2)+C_5``+``3(C_3 (t+1)^2 + C_4(t+1)+C_5)``-``4(C_3 t^2 + C_4 t + C_5)=t-1`
`C_3 (t^2+4t+4) + C_4(t+2) + C_5 ``+``3C_3 (t^2+2t+1) + 3C_4(t+1)+3C_5``-``4C_3 t^2 -4C_4t-4C5=t-1`
`t^2(C_3+3C_3-4C_3)``+``t(4C_3+C_4+ 6C_3+3C_4-4C_4)``+``4C_3+2C_4+C_5+3C_3+3C_4+3C_5-4C_5=t-1`
`10C_3t+7C_3+5C_4=t-1`
Tehát a következő egyenletrendszerünk van az együtthatókra:
`10C_3=1`
`7C_3+5C_4=-1`
Innen `C_3=1/10` és `C_4=-17/50`. Vagyis egy partikuláris megoldás a következő:
`x_p[t]=1/10t^2-17/50 t`
Itt a `C_5=0` választással éltem, mivel bármelyik partikuláris megoldás jó, és akkor már miért ne válasszuk a legegyszerűbbet.
Az inhomogén egyenlet általános megoldását megkapjuk, ha az előzőeket összeadjuk:
`x[t]=x_p[t]+x_h[t]=1/10t^2-17/50 t+C_1*(-4)^t+C_2`
Ellenőrzés (kicsit furcsán rendezett, de ekvivalens alakot talál ő is):
https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5Bt%2B2%5D%2B3x%5Bt%2B1%5D-4x%5Bt%5D%3Dt-1
Módosítva: 5 éve
1
- Még nem érkezett komment!