Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Határértékszámítás

43
Bizonyítsuk be, hogy
`lim_(x→pi/4-0) (cos(x)-sin(x))/(sqrt(1-sin(2x)))=1` és
`lim_(x→pi/4+0) (cos(x)-sin(x))/(sqrt(1-sin(2x)))=-1`.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Matematika

Válaszok

2
A L'Hospital-t gondolom tanultátok.
Számláló deriváltja `-(sinx+cosx)`, ami `π/4`-nél `-sqrt2`
A nevező deriváltja:
`d/dx sqrt(1-sin(2x))=1/2·(-2cos(2x))/sqrt(1-sin(2x))=(-cos(2x)sqrt(1+sin(2x)))/sqrt(1-sin^2(2x))=`
`=(- cos(2x))/sqrt(cos^2(2x)) sqrt(1+sin(2x))=- cos(2x)/|cos(2x)| sqrt(1+sin(2x))`
amiben a gyökös rész `π/4`-nél `sqrt2`, lehet vele egyszerűsíteni.
A teljes törtből tehát ez marad:
`cos(2x)/|cos(2x)|`
ami pedig a koszinusz előjelétől függően vagy +1, vagy -1.
1

Van egy másik megoldás is. A feladat átírható `(cos(x)-sin(x))/|cos(x)-sin(x)|` határértékszámítására. Mivel `]-(3pi)/4; pi/4[` intervallumon `cos(x)-sin(x)>0` és `]pi/4; (5pi)/4[` intervallumon
`cos(x)-sin(x)<0`, következik, hogy a `pi/4` bal oldali környezetében +1 és a jobb oldali környezetében -1 értéket vesz fel.
Módosítva: 2 hónapja
0