Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Határértékszámítás
gyula205
kérdése
318
Bizonyítsuk be, hogy
`lim_(x→pi/4-0) (cos(x)-sin(x))/(sqrt(1-sin(2x)))=1` és
`lim_(x→pi/4+0) (cos(x)-sin(x))/(sqrt(1-sin(2x)))=-1`.
`lim_(x→pi/4-0) (cos(x)-sin(x))/(sqrt(1-sin(2x)))=1` és
`lim_(x→pi/4+0) (cos(x)-sin(x))/(sqrt(1-sin(2x)))=-1`.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
2
bongolo
{ 
}
megoldása
A L'Hospital-t gondolom tanultátok.
Számláló deriváltja `-(sinx+cosx)`, ami `π/4`-nél `-sqrt2`
A nevező deriváltja:
`d/dx sqrt(1-sin(2x))=1/2·(-2cos(2x))/sqrt(1-sin(2x))=(-cos(2x)sqrt(1+sin(2x)))/sqrt(1-sin^2(2x))=`
`=(- cos(2x))/sqrt(cos^2(2x)) sqrt(1+sin(2x))=- cos(2x)/|cos(2x)| sqrt(1+sin(2x))`
amiben a gyökös rész `π/4`-nél `sqrt2`, lehet vele egyszerűsíteni.
A teljes törtből tehát ez marad:
`cos(2x)/|cos(2x)|`
ami pedig a koszinusz előjelétől függően vagy +1, vagy -1.
Számláló deriváltja `-(sinx+cosx)`, ami `π/4`-nél `-sqrt2`
A nevező deriváltja:
`d/dx sqrt(1-sin(2x))=1/2·(-2cos(2x))/sqrt(1-sin(2x))=(-cos(2x)sqrt(1+sin(2x)))/sqrt(1-sin^2(2x))=`
`=(- cos(2x))/sqrt(cos^2(2x)) sqrt(1+sin(2x))=- cos(2x)/|cos(2x)| sqrt(1+sin(2x))`
amiben a gyökös rész `π/4`-nél `sqrt2`, lehet vele egyszerűsíteni.
A teljes törtből tehát ez marad:
`cos(2x)/|cos(2x)|`
ami pedig a koszinusz előjelétől függően vagy +1, vagy -1.
1
- Még nem érkezett komment!
gyula205
válasza
Van egy másik megoldás is. A feladat átírható `(cos(x)-sin(x))/|cos(x)-sin(x)|` határértékszámítására. Mivel `]-(3pi)/4; pi/4[` intervallumon `cos(x)-sin(x)>0` és `]pi/4; (5pi)/4[` intervallumon
`cos(x)-sin(x)<0`, következik, hogy a `pi/4` bal oldali környezetében +1 és a jobb oldali környezetében -1 értéket vesz fel.
`cos(x)-sin(x)<0`, következik, hogy a `pi/4` bal oldali környezetében +1 és a jobb oldali környezetében -1 értéket vesz fel.
Módosítva: 5 éve
0
- Még nem érkezett komment!