Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Kétváltozós függvény gradiensvektorának, irányvektorának összefüggése?
Baga Eri
kérdése
341
Állapítsuk meg, hogy hol lesz az f (x; y) = xy + x – y függvény gradiensvektora a v(-1; 1) vektorra merőleges egységvektor!
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
kétváltozós, gradiensvektor, irányvektor
kétváltozós, gradiensvektor, irányvektor
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
1
AlBundy
{ Polihisztor }
megoldása
A gradiens: `gradf=[y+1, x-1]`
Ez akkor merőleges a `\mathbf{v}` vektorra, ha skaláris szorzatuk nulla:
`\mathbf{v}*gradf=0`
`-1*(y+1)+1*(x-1)=0`
`y=x-2`
Vagyis a gradiensnek `grad f=[x-1,x-1]` alakúnak kell lennie.
Már csak az kell, hogy egységvektor legyen:
`sqrt((x-1)^2+(x-1)^2)=1`
`|x-1|=1/sqrt(2)`
Ennek az egyenletnek két megoldása van:
`x_1=1/sqrt(2)+1`, ekkor `y_1=x_1-2=1/sqrt(2)-1`
`x_2=-1/sqrt(2)+1`, ekkor `y_2=x_2-2=-1/sqrt(2)-1`
Tehát két ilyen pont van:
`[1/sqrt(2)+1, 1/sqrt(2)-1]` és `[-1/sqrt(2)+1, -1/sqrt(2)-1]`
Ez akkor merőleges a `\mathbf{v}` vektorra, ha skaláris szorzatuk nulla:
`\mathbf{v}*gradf=0`
`-1*(y+1)+1*(x-1)=0`
`y=x-2`
Vagyis a gradiensnek `grad f=[x-1,x-1]` alakúnak kell lennie.
Már csak az kell, hogy egységvektor legyen:
`sqrt((x-1)^2+(x-1)^2)=1`
`|x-1|=1/sqrt(2)`
Ennek az egyenletnek két megoldása van:
`x_1=1/sqrt(2)+1`, ekkor `y_1=x_1-2=1/sqrt(2)-1`
`x_2=-1/sqrt(2)+1`, ekkor `y_2=x_2-2=-1/sqrt(2)-1`
Tehát két ilyen pont van:
`[1/sqrt(2)+1, 1/sqrt(2)-1]` és `[-1/sqrt(2)+1, -1/sqrt(2)-1]`
1
- Még nem érkezett komment!